§4.2随机变量序列的两种收敛性 在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了 = a (n→o) - 即随机变量序列{依概率收敛于常数a这么一个概念。我 们自然可以把所讨论的问题推广到a不是一个常数，而是一 个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。 定义4.2设有一列随机变量71,72,73， 如果对任意的>0都有
limP.-刀l<e (4.6) 则称随机变量序列{们}依概率欢致于门，并记作 limn,产→7 或 几g”→7 (n-→co】 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛 的一种特殊情况。我们已经知道分布函数全面地描述了随机 变量的统计规律，如果已知”→刀(n→o),那么它
们相应的分布函数耳(x)与F(x)之间的关系会有什么样 的关系呢？一个猜测是，对所有的x,都有耳(x)→F(x) (→co)成立，这个猜测对不对呢？让我们看一个很简单的 例子。gjzsj 例42设门，？都是服从退化分布的随机变量，且P (7=0)=1 p(s-1）=1,n=1,2…
1 于是对任给的￡>0，当n>二时有 P(阳-≥E)P(的≥E)=0 所以 ”→7 (n→co) 成立。又设几，们的分布函数分别为F(x),耳(x),则 F()=1x>0 2,x≤0
1x-1 F(x)= 招 1 2,x≤- 显然，当8≠0时， lim耳(x)=F(x) 成立，当=0时， g1z81 lim?(0)=lim1=1≠0=F(0) 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某 个随机变量，相应的分布函做列不一定是在每一点上都收敛
于这个随机变量的分布函数的。但是，如果仔细观察一下这 个例子，就会发现收敛关系不成立的点：=山，恰好是F(x) 的不连续点。如果我们撇开这些不连续点而只考虑F(x)的 连续点。那么在上述例子中，当，”→刀(n→c0)时， 它们的分布函数之间就有：zs lim月(x)=F(x) N→0 (x是F(x)的连续点)成立。现在为把讨论引向一般的情 形，有必要引入下述定义
定义4.3设F(x),耳1(x),五(x,…,耳(x) 是一列分布函数，如果对F(x)的每个连续点都，有 lim耳(x)=F(x +如 成立，则称分布函数列{瓦(x)}弱收敛于分布函徽F(x),并 记作 耳(x) →F(x (47)
这里称呼“弱收敛”是自然的，因为它比在每一点上都收敛 的要求在确是“弱”了些。 gjzsj 如果随机变量序列（门=1,2,3，…）的分布函数耳 (x)弱收敛于随机变量门的分布函数F(x),也称门按分布 收敛于门，并记作
在例4.2中我们已经看到从，”9(n→0)并不能推 出相应的分布函数列R(x)在每一点上收敛于F(x),而只 是有？(x) ”→F（x)成立，现在自然要问，这个结果 在一般情形下是否成立？也就是说，是否在任何情形下，都 能从？”→门推出相应的分布函效列耳(x) (x)？回答是肯定的，这就是下面的定理。gjzsj 定理4.4若随机变量序列刀1，刀2,3，，刀.依概 率收敛于随机变量门，即
(n→co) 则相应的分布函数列丑1(x),乃(x),…,耳(x)弱收敛 于分布还函数F(x),即 (x)"→F(x)(n→0) 到这里，许多读者一定会问，这个定理的逆命题是否成 立？ 即是否能从分布还函数列的弱别收敛？(x) →F(x)推出 相应的随机变量序列依概率收敛：。”→遗憾的是