考试科目名称概率论与数理统计(A卷) 2016一2017学年第一学期教师唐斌考试方式：闭卷 系（专业） 年级 班级 学号 姓名 成绩 题号一三三四五六七附加 分数 中(1)=0.8413，中(1.28)=0.9，中(1.64)=0.95，中(1.96)=0.975，中(2)=0.977 ta.02s(48)=2.0,t0.2s(49)=1.98,t0.0s(48)=1.66,t0.05(49)=1.64 得分☐1、(6分×6=36分) (1)设平面上点(p,q)在p≤1，ql≤1中等可能地出现，试求方程x2+px+q=0有实 根的概率。 (2)设随机变量x与Y独立，且x~P(2),Y~B(10,0.2),求E(XY)和D(X-2Y)· k=1,2。求证Xn}服从大 数定律
考试科目名称 概率论与数理统计(A 卷) 2016—2017 学年第 一 学期 教师 唐斌 考试方式：闭卷 系（专业） 年级 班级 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 附加 分数 Φ(1) = 0.8413, Φ(1.28) = 0.9, Φ(1.64) = 0.95, Φ(1.96) = 0.975, Φ(2) = 0.977 t0.025(48) = 2.0,t0.025(49) = 1.98,t0.05(48) = 1.66,t0.05(49) = 1.64 1、（6 分×6=36 分） （1） 设平面上点(𝑝, 𝑞)在|𝑝| ≤ 1, |𝑞| ≤ 1中等可能地出现，试求方程𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0有实 根的概率。 （2） 设随机变量𝑋与𝑌独立，且𝑋 ∼ 𝑃(2)，𝑌 ∼ 𝐵(10,0.2)，求𝐸(𝑋𝑌)和𝐷(𝑋 − 2𝑌)。 （3） 设{𝑋𝑛}为独立随机变量序列，且𝑋𝑘~( √ln 𝑘 −√ln 𝑘 1 2 1 2 ) , 𝑘 = 1,2, …。求证{𝑋𝑛}服从大 数定律。 得分
(4)设X,X2,,X为取自正态总体N(0,σ2)的容量为5的样本，求统计量Y= 巨+出，一的分布（如有自由度，须指出）。 JX好++号 (5)设X,X2,,X1o和Y1Y2,…,Ys相互独立且均是总体X~N(20,3)的样本，求 P(17-1>V②)。 (6)设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位h)分别为6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0， 设干燥时间总体X~N(4,0.62),求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间。 得分☐2、（本题满分8分） 设有10枚硬币，且抛第枚硬币出现正面向上的概率为，1=1,2，，10。随机选一枚破 币并抛出，结果正面向上。求该硬币是第5枚硬币的概率
（4） 设 𝑋1,𝑋2, … ,𝑋5 为 取 自 正 态 总 体 𝑁(0, 𝜎 2 ) 的 容 量 为 5 的 样 本 ， 求 统 计 量 𝑌 = √ 3 2 𝑋1+𝑋2 √𝑋3 2+𝑋4 2+𝑋5 2 的分布（如有自由度，须指出）。 （5） 设 𝑋1 , X2 , … , X10 和 Y1 , Y2 , … , 𝑌15 相 互 独 立 且 均 是 总 体 𝑋 ∼ 𝑁(20,3) 的 样 本 ， 求 𝑃(|𝑋̅ − 𝑌̅| > √2)。 （6） 设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（单位:h）分别为 6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0， 设干燥时间总体𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 0.6 2 )，求未知参数𝜇的置信度为 0.95 的置信区间。 2、（本题满分 8 分） 设有 10 枚硬币，且抛第𝑖枚硬币出现正面向上的概率为 𝑖 10 , 𝑖 = 1,2,… ,10。随机选一枚硬 币并抛出，结果正面向上。求该硬币是第 5 枚硬币的概率。 得分
得分☐3、（本题满分12分） 其它试求：a到边缘密度px.PmO:b Z=X+Y的密度函数。 得分☐4、（本题满分10分） 一复杂系统由个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为0.9，且必须至 少有80%的部件工作才能使整个系统工作。问：n至少为多大时，才能使得系统的可靠性不 低于0.95？
3、（本题满分 12 分） 设(𝑋, 𝑌) ∼ 𝑝(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦, 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1 0, 其它. 试求：a) 边缘密度𝑝𝑋(𝑥), 𝑝𝑌(𝑦)；b) 𝑍 = 𝑋 + 𝑌的密度函数。 4、（本题满分 10 分） 一复杂系统由𝑛个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为 0.9，且必须至 少有 80%的部件工作才能使整个系统工作。问：𝑛至少为多大时，才能使得系统的可靠性不 低于 0.95？ 得分 得分
得分☐5、（本题满分10分） 某市居民月伙食费X~N(4,o2),已知E(X)=235.5,现随机抽取49个居民，他们本月 伙食费平均值为x=236.5元，修正的样本标准差s49=3.5元。a)试向在显著水平α=0.05 下，是否可以认为本月居民平均伙食费有显著上升？b)求μ=E(X)的置信度为95%的置信 区间。 得分☐6、（本题满分12分） 已知总体X~p)=后0≤X59,其中0>0为未知参数.设X.X,X,为样本. (0,其它 )求日的矩估计量与极大似然估计量：b)判断它们的无偏性和一致性（均须说明理由）
5、（本题满分 10 分） 某市居民月伙食费𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )，已知𝐸(𝑋) = 235.5，现随机抽取 49 个居民，他们本月 伙食费平均值为𝑥̅= 236.5元，修正的样本标准差s49 = 3.5元。 a) 试问在显著水平𝛼 = 0.05 下，是否可以认为本月居民平均伙食费有显著上升？ b) 求𝜇 = 𝐸(𝑋)的置信度为 95%的置信 区间。 6、（本题满分 12 分） 已知总体 𝑋 ∼ 𝑝(𝑥) = { 1 𝜃 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜃 0, 其它 ，其中𝜃 > 0为未知参数。设𝑋1,𝑋2, … ,𝑋𝑛为样本。 a) 求𝜃的矩估计量与极大似然估计量; b) 判断它们的无偏性和一致性 (均须说明理由)。 得分 得分
得分☐7、（本题满分2分） 设π是集合n={1,2,,n上的一个置换。若i，则称（π(，π》是π中 的一个倒置。例如，考虑5]的置换(4,21,5,3)，其包含5个倒置(4,2)，(4,1)，(4,3)，(2,1)，(5,3)： 现从[n]上的所有可能置换中随机挑选一个置换，令X表示该置换中倒置的个数。)求E(X): b)求DM
7、（本题满分 12 分） 设𝜋是集合[𝑛] = {1,2, … , 𝑛}上的一个置换。若𝑖 𝜋(𝑗)，则称(𝜋(𝑖), 𝜋(𝑗))是𝜋中 的一个倒置。例如，考虑[5]的置换(4,2,1,5,3)，其包含 5 个倒置(4,2), (4,1), (4,3), (2,1), (5,3)。 现从[𝑛]上的所有可能置换中随机挑选一个置换，令𝑋表示该置换中倒置的个数。a) 求𝐸(𝑋)； b)求 D(X)。 得分
得分☐附加题、（本题满分4分） 请利用中心极限定理证明等式 一若
附加题、（本题满分 4 分） 请利用中心极限定理证明等式 lim𝑛→∞ 𝑒 −𝑛 ∑ 𝑛 𝑘 𝑘! 𝑛 𝑘=0 = 1 2 得分