考试科目名称概率论与数理统计(A卷) 2017一2018学年第一学期教师唐斌，姚远考试方式：闭卷 系（专业） 年级 班级 学号 姓名 成绩 题号一 三三四五六七 分数 中(1)=0.8413，中(1.28)=0.9，中(1.64)=0.95，中(1.96)=0.975，中(2)=0.977 t0.02s(16)=2.12,t0.02s(17)=2.11,t005(16)=1.746,t0.0s(17)=1.740 xas5(40)=55.758,X605(39)=54.572,xa9540)=26.509,x6gs(39)=25.695 得分☐1、(6分×6-36分) (1)一个盒子里分别有标号从1到n的n个红球、n个白球、n个蓝球，现从该盒子中随机 选出两个球（无放回），求这两个球是同一颜色或者同一标号的概率。 (2)设随机变量x与Y独立，且X~G(0.1),Y~B(10,0.2),求E(XY)和D(5x-2Y). (3)有三个抽屉各存有两枚硬币，分别为两枚金币、两枚银币、一枚金币一枚银币。现 随机选择一个抽屉并从中随机选出一枚硬币。若此硬币为银币，求这个抽屉另外一 枚硬币是金币的概率
考试科目名称 概率论与数理统计(A 卷) 2017—2018 学年第 一 学期 教师 唐斌，姚远 考试方式：闭卷 系（专业） 年级 班级 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 分数 Φ(1) = 0.8413, Φ(1.28) = 0.9, Φ(1.64) = 0.95, Φ(1.96) = 0.975, Φ(2) = 0.977 t0.025(16) = 2.12,t0.025(17) = 2.11,t0.05(16) = 1.746,t0.05(17) = 1.740 χ0.05 2 (40) = 55.758, 𝜒0.05 2 (39) = 54.572, χ0.95 2 (40) = 26.509, 𝜒0.95 2 (39) = 25.695 1、（6 分×6=36 分） （1） 一个盒子里分别有标号从1到𝑛的𝑛个红球、𝑛个白球、𝑛个蓝球，现从该盒子中随机 选出两个球（无放回），求这两个球是同一颜色或者同一标号的概率。 （2） 设随机变量𝑋与𝑌独立，且𝑋 ∼ 𝐺(0.1)，𝑌 ∼ 𝐵(10,0.2)，求𝐸(𝑋𝑌)和𝐷(5𝑋 − 2𝑌)。 （3） 有三个抽屉各存有两枚硬币，分别为两枚金币、两枚银币、一枚金币一枚银币。现 随机选择一个抽屉并从中随机选出一枚硬币。若此硬币为银币，求这个抽屉另外一 枚硬币是金币的概率。 得分
(4)设X,X2,…,X为取自正态总体N(4,o2)的样本，又是样本均值，S2是修正样本方差， 求统计量Y=区心的分布（如有自由度，须指出）。 (5)设X,X2,…,X1o和Y,Y2,,Ys相互独立且均是总体X~N(20,3)的样本，求P仅-了< 2)。 (6)从某正态总体N(4,2)中抽样，考虑其置信度为90%的置信区间。若选取样本容量为 40,能否保证该置信区间长度的期望小于总体方差本身？请给出理由。 得分☐2、（本题满分8分） 从良种率为0.5的种子中任取10000粒，问能以95%的概率保证在这些种子中良种所 占比例与0.5的差的绝对值不超过多少？
（4） 设𝑋1,𝑋2, … ,𝑋5为取自正态总体𝑁(𝜇, 𝜎 2 )的样本，X是样本均值，𝑆 2是修正样本方差， 求统计量𝑌 = 5(X−𝜇) 2 𝑆 2 的分布（如有自由度，须指出）。 （5） 设𝑋1,𝑋2, … ,𝑋10和𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌15相互独立且均是总体𝑋 ∼ 𝑁(20,3)的样本，求𝑃(X − 𝑌 < √2)。 （6） 从某正态总体𝑁(𝜇, 𝜎 2 )中抽样，考虑其置信度为 90%的置信区间。若选取样本容量为 40，能否保证该置信区间长度的期望小于总体方差本身？请给出理由。 2、（本题满分 8 分） 从良种率为 0.5 的种子中任取 10000 粒，问能以 95%的概率保证在这些种子中良种所 占比例与 0.5 的差的绝对值不超过多少？ 得分
得分☐3、（本题满分10分） 设连续型随机变量X与Y的联合密度函数为 kxy=6。x-/B,0≤x≤22sys4 0. a)px(x);b)pyix(y);c)P(2<Y<31X =1). 得分☐4、（本题满分12分） 设X为连续型随机变量，证明下列结论 )若X的k阶矩存在，则其所有小于k阶的矩均存在 b)若X的密度函数为偶函数，则X与X2不相关
3、（本题满分 10 分） 设连续型随机变量𝑋与𝑌的联合密度函数为 𝑝𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = { (6 − 𝑥 − 𝑦)/8, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 2 ≤ 𝑦 ≤ 4 0, 𝑜. 𝑤. 求 a) 𝑝𝑋(𝑥); b) 𝑝𝑌|𝑋(𝑦); c) 𝑃(2 < 𝑌 < 3|𝑋 = 1). 4、（本题满分 12 分） 设𝑋为连续型随机变量，证明下列结论： a) 若𝑋的 k 阶矩存在，则其所有小于 k 阶的矩均存在。 b) 若𝑋的密度函数为偶函数，则𝑋与𝑋 2不相关。 得分 得分
得分☐5、（本题满分10分） 假设某厂生产的牛奶中钠含量（单位：mgL,)X服从正态分布，出厂规定其钠含量平均 不得高于18mgL。现抽取了17盒500ml的牛奶样品，测得钠含量的均值为19.8mgL,修 正样本方差为18.8. a)问显著水平0.05下该批牛奶是否合格？b)求μ=E(X)的置信度为95%的置信区间。 得分☐6、（本题满分12分） N个人(N>5)围坐在一个圆桌旁，现让每个人抛一次硬币，如果某个人的结果与左 右两个人均不同，则此人将会收到一个礼物。令X为收到礼物的人数，求E()与D(X幻
5、（本题满分 10 分） 假设某厂生产的牛奶中钠含量（单位：mg/L）𝑋服从正态分布，出厂规定其钠含量平均 不得高于 18mg/L。现抽取了 17 盒 500ml 的牛奶样品，测得钠含量的均值为 19.8mg/L，修 正样本方差为 18.8. a) 问显著水平 0.05 下该批牛奶是否合格？ b) 求𝜇 = 𝐸(𝑋)的置信度为 95%的置信区间。 6、（本题满分 12 分） 𝑁个人（𝑁 > 5）围坐在一个圆桌旁，现让每个人抛一次硬币，如果某个人的结果与左 右两个人均不同，则此人将会收到一个礼物。令X为收到礼物的人数，求𝐸(𝑋)与 𝐷(𝑋)。 得分 得分
得分1 7、(本题满分12分) 设一台天气预报服务器从开始工作到失效的时间服从分布(x)= 后e音x20,其 0x0为未知参数。某天气预报中心有两台这样的服务器，一台失效时另外一台可以立即 工作。现进行n次观测，得到从开始到两台均失效的总时间分别为X1,X2,,Xn )求8的矩估计量与极大似然估计量；b)判断它们的无偏性和一致性，并给出理由
7、（本题满分 12 分） 设一台天气预报服务器从开始工作到失效的时间服从分布𝑝(𝑥) = { 1 𝜃 𝑒 − 𝑥 𝜃 𝑥 ≥ 0 0 𝑥 0为未知参数。某天气预报中心有两台这样的服务器，一台失效时另外一台可以立即 工作。现进行 n 次观测，得到从开始到两台均失效的总时间分别为𝑋1,𝑋2, … ,𝑋𝑛. a) 求𝜃的矩估计量与极大似然估计量; b) 判断它们的无偏性和一致性，并给出理由。 得分