§6.1矩法估计 那么，怎样构造估计量呢？在第五章中由大数定律我们 知道子样矩依概率收敛于母体矩，又在许多分布中它们所含 的参数都是矩的函数，例如正态分布N(从，G)中的参数儿 和σ就是这个分布的一阶原点矩和二阶中心矩.因此很自然 地会想到用子样矩来代替母体矩，从而得到母体分布中参数 的一种估计。这种估计方法称为矩法。它的思想实质是采用 子样的经验分布和子样矩去替换母体的分布和母体矩的原 则。今后称之为替换原则
§6.1 矩 法 估 计
设母体具有已知类型的概率函数fc日，62，…，6)， (日1，日2，，日m)E⊙是k个未知参数。号2， 与m是取自母体的一个子样，假设的k阶矩=E专k 存在，显然，j水都存在，并且是8，，6 的函数（日1，日2，，8N).子样51，专2，…， 5n的j阶矩为-之
我们设 (01,日2，，0m豆，1,2k (6.1) 得到含k个未知数日1，日2，，日：的k个方程式 解这k个联列方程组就可以得到日1，日2，…，日。的 一组解： 月=a(51,52,50),1,2k (6.2) 用(6.1)中的解月估计参数就是矩法估计.由于A是51
专2，，号m子样的函数，所以是统计量。 顺便提一下，在数理统计学业中我们一般在被估计的参 数8加一个符号如尖顶已或其他符号用以表示日的估计值， 下面我们举个矩法估计的例子。 例6.1母体均值E与方差D为矩法估计。 解 设是51,52，5 母体的子样。母体 具有均值E和方差
D5=E52-(E)2 按照(61)式得方程式组 4=E5= h=E52=(E5)2+D5=2 解这一方程组得E和D矩法估计 =5=12员 D正=豆-③2 (6.3)
-12(- 那么用矩法得到的估计是否好呢？下面我们讨论体现 估计好坏标准的两个性质。 1.一致估计 用矩法得到的参数估计有时具有一些优良性质。根据$41 中辛钦大数定律，对任何￡>0，有 1imP作-E≥e=0 并且对于任何j,只要E3存在，同样有
mPF-时k小0，Lj 由此可知，用矩法估计所得到的母体均值E和各阶原点矩 E乡’，I≤j的估计量和号”，当n很大时，它们分别与 自己真值的差小于任何数的慨率趋于1，即估计量与真值很 接近的可能性非常大。由于对同一个待估参数日可以构造许 多个估计量，但不是每一个估计量都像矩法估计那样具有这 种性质，因此一个估计具有不具有这种性质，显然可以作为 衡量这个估计量好坏的准则。我们把这一准侧精确地定义如 下
定义6.1 设母体具有概率函数f(c,),日∈玉为 未知参数。可=瓦(51,52，…，5m)为日的-个 估计量，n为子样容量。若对任何一个￡>0，式 limpl0-d>s-0 成立，则称日，为参数的一致估计. 上述例1中的是母体均值E的一个一致估计，号” 是的E'一个一致估计。为了证明(6.3)式中
2 S号=1之（传-）是母体方差的-致估计，我们要用S42 8i-1 中的定理4.7.并且根据这个定理还可讨论子样矩的函数的 致性问题。例如根据辛软大数定律豆P→E2,再由依 概率收敛的四则运算的性质， =豆282(E2=D5 这就得出子样方差S是母体方差D的一致估计。 2.无偏差估计 估计的一致性是大子样所呈现的性质.当子样容量不大 时，估计的这种性质就不存在。这里我们给出另一种对任何 子样容量都适用的评价估计量好坏的准侧
在例6.1中我们知道E的矩法估计是乡，由定理5.1知它 的数学期望和方差分别为 E(E5)=E5=E5 D(E5=D5=1D5 从此可以看出，用子样均值作为母体均值E的估 计，虽然没有说明用个别的来估计时偏差有多大，但这种 偏差只能是随机性的.估计只是在E的两旁随机地摆动