第三章 连续形型随机变量 §3.1随机变量及分布函数 *在第二章中我们研究了离散型随机变量，在那 里随机变量只取有限个或可列个值，这当然有 很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些 变量，如测量某地显像管的寿命，某海里高考体 格检查时每个考生的身高，体重等，它们的取值 是可以充满某个区间或区域的，如同离散型随 机变量，这此变量的取值是随着试验结果的变 化而变化的，因而在试验这前是不确定的，概率 论的任务是要研究它们的统计规律，那么对于 这种更一般的随机变量，如何来描述它的统计 规律呢？先看一个例子
第三章 连续形型随机变量 §3.1 随机变量及分布函数 在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那 里随机变量只取有限个或可列个值,这当然有 很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些 变量,如测量某地显像管的寿命,某海里高考体 格检查时每个考生的身高,体重等,它们的取值 是可以充满某个区间或区域的,如同离散型随 机变量,这此变量的取值是随着试验结果的变 化而变化的,因而在试验这前是不确定的,概率 论的任务是要研究它们的统计规律,那么对于 这种更一般的随机变量,如何来描述它的统计 规律呢?先看一个例子
例3.1 等可能地在[a,]上投点这是第一章中曾 经讨论过的几何概率一类的问题在这里等可能的含意 是指，所投的点落在[a,]中的任一子☒间B=[c,d中的概 率，与B的长度1成正此，而与B在[a,b]中位置无关如 果记点落入B中这一事件为B,则上述等可能性即意味 着 d-c P(B)= b-a b-& 如果投在[a,b]中的点的坐标为(a≤≤b),令 (0)=a≤tg1zs
这样就得到一个随机变量()它的取值充满了整个 区间[a,)]如何来描写()的统计规律呢？你可能会想 到既然对于离散型随机变量，可以用分布描述它们的 统计规律，何不仍采用分布列这个工具呢？既然有这个 想法，那就来看看这个()的分布列吧对于上述的 (),它取[a,]中任意一点值，的概率为 0=0 p(5()=m)=p(a=）=6a
因为单点集的长度为零.由此可知，用分布列是行不通 的需要另外找一个合适的工具.前面已经指出点落入B 中的概率与B的长度1成正比，设B=[c,d]c[a,b]就 有 p(c≤59=P(点落入B中=p(B)=d c -a 又因为2（号=d)=0,所以 P(cs5s)=P(c≤5<d) 而 P(c≤5<d)=P(5<d)-P(5<c)
于是 P(cses=P(e<d)-P(e<c) 这就告诉我们，为了掌握（⑩）统计规律，只要对任意实 数x,知道 P(a)<x)=? 就够了这个概率当然与x有关，为此记 F(x)=P(E()<x)
定义3.1定义在样本空间0上，取值于实数域的 还函数（⑩），称为是样本空间A上的随机变量，并称 F(x)=P(5()<x,x∈(-o,o) (3.1) 是随机变量()的概率分布函数简称为分布函数或 分布 从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布 函做，都具有下述性质
(1)单调性.若x1<x2,则F(x)<F(x2 (3.2) (2) F(-0o)=0, (3.3) F(+0)=1; (3.4) (3)左连续性.F(x-0)=F(x) (3.5) 下面证明(2)和(3)，先证明(2)，因为 0≤F(x)≤1，且F(x)单调，故
limF(x)=li山mF(w) -00 lim F(x)=lim() X-too 都存在，又由概率完全可加性有 1-P)-P+
=li山m∑pt≤5（网）<i+1) 8+0iw 根+0 limF()-limF() 礼→四 根 所以必有 lim F()=0.lim F(=1 X-Ho 成立.gs 再证明(3)，因为F(x)是单调有界函做，其任一点的左 极限F(x-必存在，为证明左连续，只要对某一列单调上 升的数列 五1<x2<…≤w<…,xx<x(2→0)
证明 i山mF(xw)=F(x) 成立即可，这时，有 F(x)-F(x1)=p(x1≤5()<x) =但，s@<元} 22(x,≤6(@<x） H =∑[F(x1)-F(x)]