§1.4概率的公理化定义及概率的性质 一个随机试验，如果他的数学模型时古典概型，那 么描述这个试验的样本空间、事件域和概率P 已在§3种得到了解决.在古典范围内试验的结果是 有限的。当试验结果为无限时，会出现一些本质性 困难，使问题不能像有限时那么容易解决。这里讨 论具有一某种“等可能性”的一类问题。 如果我们在一个面积为S,的区域中，等可能 的取值（图1.6）设区域①中任意一区域A,如果它
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质 gjzsj
的面积为S4,则点落入A的可能性大小与S:成正 此。记“点落在小区域A”这个随机事件任然记作A, 则由P()=1可得 P(A)= S Sa A
例1.11（会面问题）甲、乙两人约定在6点到 ?点之间在某地会面，并约定先到者要等1另一人一 小时才能离去。求两人能会面的慨率。 解以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点 的时间，则两人回面的充要条件是 -yl 15 X
在平面上建立直角坐标系图1.7。则(x,y)的 所有可能结果是边长60的正方形，而会面可能时间 是图中的阴影部分。 由等可能性质知： P(A)= S4.602-4527 Sa 602 16 例1.12浦丰投针问题。平面上画有等距离的 平行线，平行线间的距离为a(a>0),在平面任意投 掷一枚长1(1<a)的针，试求针与平行线相交的慨 率
解以x表示针的中点与最近的一条平行线的 距离，又以®表示针与此直线间的交角，知 以 0≤x≤ 2 0爸0英江 由这两式可以确定x平面上的一个矩形， 这时为了针与平行线相交，其充分条件是： x≤二sin& 2 由这个不等式表示的区域A是图中的阴影部分。 由等可能性知
-sin gaoo 0 P(A)= 2 21 P 图略（见书P24) 现在，我们比较仔细地来考察这一类投点 问题。为了方便起见，设是一个单位正方形（图 1.9),A是样本空间的一个子集。由等可能性知 P(A)= SA
这里S是A的面积。容易验证这样的概率P的 确具有非负性、规范性和有限可加性，看来问题是 轻而易举的解决了。但是，切莫高兴得太早，还有 一个非常基本的问题没有解决。从过去的讨论已经 知道，概率P是在事件域∫上有定义的集合还数， 它的非负性、规范性和有限可加性也只有在∫上才 有意义。现在我们不免要问，在上述投点试验中， 事件域∫究竟是什么？在古典概型中，已经知道∫ 可以是的一切子集的全体，很自然地会认为在投 点试验中，∫也可以是的一切子集的全体。遗憾 的是，这样的“推广”是行不通的。由于等可能性， 以知对于2的子集A有P(A)=SA,这里SA是A
的面积，因而A不能是的任意子集，至少应该是 中“具有面积”的一类子集。说到这里，读者一定 会觉得奇怪，难道在单位正方形中还有“不具有 面积”的子集吗？一点都不假，人们已经证明了这 种“不具有面积”的子集确实存在，这种集合称作 不可测集。对这一个问题的进一步讨论已经超出本 书的范围，这里我们要求读者接受Q中“不具有面 积”的子集确实存在这一事实，现在回到我们所关 心的问题上来。由前面的讨论我们知道在投点试验 中，事件域∫不能是的一切子集的全体，而只能 是的一切“具有面积”的子集的全体。容易验证， 这样的事件域∫是一个布尔代数，对于A∈∫，P(A)
=SA。也很容易验证，这样的概率P的确是∫上目 负的、规范的、有限可加的集合函数。于是，∫， P三者描述了这个投点试验。 由上述投点试验可以看到，只要构造适当的随机 试验，面积就成了概率，这就告诉我们面积具有的 性质，慨率也应该具有非负性和有限可加性，这再 一次说明了慨率应该具有非负性和有限可加性，除 此之外，还有什么值得我们注意呢？ 如果在单位正方形中有一列两两互不相交的小 区域A1,A2,…,每个小区域的面积是1，S2,…, 很自然的我们可以问：这些小区域总面积是多少？
按照前面的记号，这些小区域的并可以记作 总的面积 SA 把面积了解为慨率，上式： SA i=1 在§2中已经知道慨率P的事件域￡上有有限