（A卷评分标准及参考客案) 8。设随机事件A与B互不相容，PA)>0,PB)>0,则(D) 课程名称：《概率论) 适用学期：第五学期 (A)P(4)=1-P(B). (B)PAB)=PB 适用专业：数学与应用数学适用层次：本科（师范） (OP代AUB)=L (D)P(4B)=1. 一、填空题(7×3分=21分) 1.若AB.C相互独立，且A=利=P=12,则P(4UBUC)=7 生图然作人发的来为民行a大生立酸事作人至级 1-p,Bp 9(1-p°+nm1-p.D)1-1-p 从12，…，0共十个数字中任取一个，然后放国。先后取出5个数字，则所得5个数字 10.设随机变量5的概率密度为P:侧，令刀=-35+2，则刀的概率密度为（B) 全不相同的事件的概率等于0x9x3×7×@.03024. 103 w--g2 2.某公共汽车站每隔8分钟有一入车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的。则一个 乘客侯车时间不超过3分钟的率为3 ©--y* @牛 设离敬型随机变量5的分布列为P5=对=写对k=012则常数Λ-兰 Ln粉s:(日日山骑e 4.设5，刀是相互独立的随机变量。且分别从，p和,p)的分布，则5+刀 ()P5==0.9 BP5==0.52 服从a,n,phE(+n=a,n,p4D(5+n)=(a,n:p-p: (qP5=m=0.5 D)P5=)=1. 5.设5-U0,1.刀-0,1且5与n相互独立记（，7）的概率密度为f，， 12.N1,3引.N2,且5,相互独立.则E25-3D25-3)份别 则兮上 为(C) 68(B围)-418(G-4,48.(D)6-6 6. 其它， 3.5,刀相互独立，~N0,山，刀一0，.则下列随机变量或随机向量中不服从正 态分布的是(D) 则E4B ()(5,)(B周5+n.(95-.…(D)5刀 二、选择题(7×3分-21分)
（ A 卷评分标准及参考答案） 课程名称：《概率论》 适用学期：第 五 学期 适用专业：数学与应用数学 适用层次：本科（师范） 一、填空题（7×3 分=21 分） 1． 若 A、B、C 相互独立，且 P(A) = P(A) = P(A) =1/2，则 P ( ABC ) = 7/8 。 从 1,2, ,10 共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出 5 个数字，则所得 5 个数字 全不相同的事件的概率等于 0.3024 10 (10 9 8 7 6) 5 = 。 2． 某公共汽车站每隔 8 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个 乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率为 3/8 。 3． 设离散型随机变量 的分布列为 , 0,1,2, , 3 ! { = } = k = k A P k k 则常数 A = −1/ 3 e 。 4． 设 ， 是相互独立的随机变量，且分别服从 b(n 1，p)和 b(n 2 ，p) 的分布，则 + 服从 b(n 1 +n 2 ，p)；E（ + ）= (n 1 +n 2 )p ；D（ + ）= (n 1 +n 2 )p(1-p) 。 5． 设 ~U(0,1)， ~ U(0,1)，且 与 相互独立，记（ ， ）的概率密度为 f (x, y) ， 则 ) 2 1 , 2 1 f ( = 1 。 6． 已知随机向量（ ， ）联合概率密度为 p(x , y) = ， ， 其它， ， 0 0 2,0 1 2 3 2 xy x y ， 则 E = 4/3 。 二、选择题（7×3 分=21 分） 8．设随机事件 A 与 B 互不相容， P(A) 0 ， P(B) 0 ，则（ D ） (A) P(A) = 1− P(B). (B) P(AB) = P(A)P(B). (C) P(A B) = 1. (D) P(AB) = 1. 9．设在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 p，现重复进行 n 次独立试验，则事件 A 至多发 生 1 次的概率为（ C ） (A) 1－p n . (B) p n . (C) (1－p) n +np(1－p) n−1 . (D) 1－(1－p) n . 10．设随机变量 的概率密度为 p (x)， 令 = －3 +2，则 的概率密度为（ B ） (A) － 3 1 p (－ 3 y − 2 ). (B) 3 1 p (－ 3 y − 2 ). (C) － 3 1 p (－ 3 y + 2 ). (D) 3 1 p (－ 3 y + 2 ). 11．设 与 相互独立，其分布列分别为 ~ 0.4 0.6 0 1 ， ~ 0.4 0.6 0 1 ，则有（ B ） (A) P( =) = 0. 9. (B) P( =) = 0.52. (C) P( =) = 0.5. (D) P( =) = 1 . 12． ～N(1, 3)， ～N(2, 4)，且 ， 相互独立，则 E(2 －3 )， D(2 －3 )分别 为（ C ） (A) 6, 8. (B) －4, 18. (C) －4 , 48 . (D) 6, －6 13． ， 相互独立， ～N(0, 1)， ～N(0, 1)，则下列随机变量或随机向量中不服从正 态分布的是 （ D ） (A) ( , ) (B) + . (C) − . . (D)
=1714 (3分) 1毛设随机变量气元5“气相互独立令儿一立.则根都林德贝尔格一列推中心极限 (40P(51≤4)=W5n=l+PY51=2+P(57=3tP(5n=4) 定理，当n充分大时，力，近似服从正态分布，主要，5，，5满足(C） =14+1/8+1/12+1/16=31/48 (3分) [1220≤y≤x≤1 (A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差. 16.设随机变量(5,7)具有概率密度p,厂0 其它 (C)服从同一指数分布. (D)服从同一离敏型分布 三.计算腿 求(I)5的边缘分布：(2)E51:(3)CovM5,1:(4)D(5+1:(5)P知(14分). 15.设随机向量(，7)的联合分布律如右， Y 求(1)5的边缘分布律：(2)F,y 1 23 解)5的边缘分布为P4-p化y冲=12y2d=k3, (2分) 4 1/40 0 0 (2)Egn=[xd f12y= (2分) (3)5+n的分布律：(4)E(5+n): 1/8 1/8 0 1/121/121/120 1/16116116116 )由于co(5,E5-E5E,商E5=2y2- (⑤)P(57≤4)(14分) Ea2,数cm5,nr号r网 (3分) 解：(1)5的边缘分布律为 1234 1/41/41/41/4 (2分， (④D(5+7)=D(5)+D(n)+2Cov(5,)=E52-(E52+E2-(En)2+125 (123 2由于刀的边缘分布律为25/481314871483/48 4 =xi2y2-16n+[s12ydy-92s-1n0 =2/3-1625+2/5-925+1/25=875 (4分) 0 C05,D=1 (间PD.Dn12505 (3分) 25/4814 5+分布#为2.3.4.5678) 如果他乘火车，轮，汽车来的话，8到的质率分别为子行 ,而乘飞机不会迟到。 121486/4810/487/4871483/483/48. (3分) (1)该朋友迟到的概率是多少？： (2)该朋友迟到了，问他是乘火车来的概率是多少？(6分) (4)E(5+)=2×12/48+3×648+4×1048+5×748+6×7/48+7×3/48+8×348 解：令B,表示“朋友乘火车来”，B2表示“朋友乘轮船来”，B,表示“朋友乘汽车
14.设随机变量 n , , , 1 2 相互独立,令 = = n i n i 1 ,则根据林德贝尔格—列维中心极限 定理,当 n 充分大时, n 近似服从正态分布,主要 n , , , 1 2 满足( C ) (A) 有相同的数学期望. (B)有相同的方差. (C)服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布 三．计算题 15．设随机向量（ ， ）的联合分布律如右， 求（1） 的边缘分布律；（2）F (y) （3） + 的分布律；（4）E（ + ）； (5) P（ 4 ） （14 分） 解: (1) 的边缘分布律为 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1 2 3 4 (2 分), (2) 由于 的边缘分布律为 25/ 48 13/ 48 7 / 48 3/ 48 1 2 3 4 从而 F (y)= 1 4 45 / 48 3 4 38 / 48 2 3 25 / 48 1 2 0 1 y y y y y (3 分) (3) + 分布律为 12 / 48 6 / 48 10 / 48 7 / 48 7 / 48 3/ 48 3/ 48. 2 3 4 5 6 7 8 (3 分) （4）E（ + ）=2 12/48 +3 6/48 +4 10/48 +5 7/48 +6 7/48 +7 3/48 +8 3/48 =17/4 (3 分) (4) P（ 4 ）=P( =1)+ P( =2)+ P( =3)+ P( =4) =1/4 +1/8 +1/12 +1/16=31/48 (3 分) 16．设随机变量（ ， ）具有概率密度 p (x，y)= 0 其它 12 0 1 2 y y x ， 求(1) 的边缘分布；（2）E ；（3）Cov( ， )；（4）D（ + ）；（5） （14 分）。 解 (1) 的边缘分布为 p (x)= + − p (x，y)dy= x 0 12 y 2 dy=4x 3 ; （2 分） (2) E = 1 0 xdx x 0 12 y 3 dy= 2 1 ; （2 分） (3) 由于 Cov( ， )= E - E E ,而 E = 1 0 xdx x 0 12 y 2 dy= 5 4 , E = 1 0 dx x 0 12 y 3 dy= 5 3 ; 故得 Cov( ， )= 2 1 - 5 3 5 4 =1/50 （3 分） (4) D（ + ）= D（ ）+ D（ ）+2 Cov( ， ) = E 2 － (E ) 2 + E 2 － (E ) 2 +1/25 = x dx 1 0 2 x 0 12 y 2 dy －16/25+ 1 0 dx x 0 12 y 4 dy－9/25 －1/10 =2/3 － 16/25 + 2/5－9/25+1/25=8/75 （4 分） (5) = D D Cov ( , ) = 1250 3 1 . （3 分） 四．应用题 （12 分） 17．有朋友从远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4。 如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为 4 1 ， 3 1 ， 12 1 ，而乘飞机不会迟到。 （1）该朋友迟到的概率是多少？； （2）该朋友迟到了，问他是乘火车来的概率是多少？ （6 分） 解： 令 B1 表示“朋友乘火车来” ，B2 表示“朋友乘轮船来”， B3 表示“朋友乘汽车 Y X 1 2 3 4 1 2 3 4 1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16
来”，B:表示“朋友乘飞机来”，A表示“朋友迟到了”(2分) P05-Hbc)sE16-uL (1)于是由全概率公式可得该朋友迟到的概率为 PW-立P,B,)D3x02x写01x立=品2分例 正m5-pe=P4e≤ph别 (2)由贝叶斯公式可得该朋友迟到了，他是乘火车来的概率为 从而Pm5-HbE)sEL5-此 2分) P (B,A)=P(B(AP(B,AB) 2分) 20.设5.}为相互独立的随机变量序列.且5。~U(0,b)(b>0为常数).证明 18.一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符合被排错的概奉为0.0001，校对时每 个挂版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率 .=mf乐，，5.}→h. (6分) 附：1.58)=0.94(3)=0.999 「0x≤0 0 x≤0 证期：ξ.~Fx)=x/bx∈(0，b),从面nn~F(x)=xlb)”x∈(0，b)3分) 解：令气。= 上，第个印刷符合被排错且校对后仍错误。因为排板与校对是两个独 1 xzb 其它 立的工序，因而p=P,=)=0.0001×0.1=10-5,P5=0)=g=1-p,2分) 巴P明儿-bp=1+8+-81=gr→0a→四）6别 2儿设么.}为相互独立的随帆支最序列，P(乐士瓜)片，P(乐0》1-子 份是独立同分布随机序列、5=p令儿.一之系，共中=0，由中心极限 =2,3,,证明{5}服从大数定理。(6分) 定理有P.s1S)=P二吧s15-四=b6,共中h 证明：由于 Vpg√pg 而158.2分 E5=0x(1-2/n)+n x l/n+(-n )x I/n=0,D5=0x(1-2/)+nx I/+nx l/n=2 由于(1.58)=0.94得P7≤15)=0.94。即在校对后错误不多于15个的概率 令n.-空5：n=23,,则E.0Dn.-% (3分) 为0.94 (2分) 五.证明（每避6分，共18分） 对任意的6>0，由契贝晓夫不等式可知P叫”。-E”.K6)21-2n62,故有 19.设5为连续型随机变量，对任意的常数μ，E(5-4)少<©(0)，证明有 mP7.-E刀KE)=1.从面{5n}服从大数定律 (3分)
来”， B4 表示“朋友乘飞机来”，A 表示“朋友迟到了” (2 分) （1）于是由全概率公式可得该朋友迟到的概率为 P（A）== 3 i 1 P (B i )P(A| B i ) =0.3 4 1 +0.2 3 1 +0.1 12 1 = 20 3 (2 分) (2) 由贝叶斯公式可得该朋友迟到了，他是乘火车来的概率为 P（B 1 |A）= {P (B 1 )P(A| B 1 )}/{ = 3 i 1 P (B i )P(A| B i )}= 2 1 (2 分) 18．一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符合被排错的概率为 0.0001，校对时每 个排版错误被改正的概率为 0.9，求在校对后错误不多于 15 个的概率？ 附： (1.58) = 0.94 (3) = 0.999 解：令 = 其它 第 个印刷符合被排错且校对后仍错误 0, 1, i i 。因为排版与校对是两个独 立的工序，因而 5 ( 1) 0.0001 0.1 10− p = P i = = = ， P( i = 0) = q =1− p , (2 分) { } i 是独立同分布随机序列， E p, i = 令 = = n i n i 1 ，其中 6 n = 10 ，由中心极限 定理有 ) ( ) 15 ( 15) ( b b npq np npq np P P n n = − − = ，其中 1.58 10 5 b 。(2 分) 由于 (1.58) = 0.94 得 P(n 15) 0.94 。即在校对后错误不多于 15 个的概率 为 0.94 (2 分) 五．证明（每题 6 分, 共 18 分） 19．设 为连续型随机变量，对任意的常数 , − r E( ) (r>0)，证明有 r r E P | | (| | ) − − 。 证： P p x dx p x dx x r r x− − − − = | | | | ( ) | | (| | ) ( ) (4 分) 从而 r r E P | | (| | ) − − 。 (2 分) 20．设 n 为相互独立的随机变量序列，且 ~ U(0,b) n （b>0 为常数）。证明 b P n = max{ 1 , , n } ⎯→ 。 （6 分） 证明： = x b x b x b x F x n 1 / (0, ) 0 0 ~ ( ) ，从而 = x b x b x b x F x n n n 1 ( / ) (0, ) 0 0 ~ ( ) (3 分) lim {| | } 1 ( ) ( ) ( ) → 0,( → ) − − = − + + − = → n b b P b F b F b n n n n n (3 分) 21．设 n 为相互独立的随机变量序列，P（ n = n ）= n 1 ，P（ n =0）=1－ n 2 ， n=2，3，…，证明 n 服从大数定理。（6 分） 证明: 由于 E n =0 (1－2/n) + n 1/n +(－ n ) 1/n=0; D n =0 (1－2/n) + n 1/n + n 1/n=2 令 n =1/n = n i i 1 ; n = 2,3, , 则 E n =0, D n =2/n (3 分) 对任意的 >0, 由 契 贝 晓 夫 不等 式 可 知 P(| n -E n |< ) 1− 2/(n 2 ), 故 有 n→ lim P(| n -E n |< )=1. 从而{ n }服从大数定律. (3 分)
