上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（试卷习题）02数本概率B卷答案

(B卷评分标准及参考客案) (A)P(AIB)+P(A1B)=1.(B)P(4IB)+P(4IB)=1 课程名称：《概率论》 适用学期：第五学期 (C)P(AIB)+P(AIB)=1. (D)P(4IB)+P(AIB)=1 适用专业：数学与应用数学适用层次：本科（师范） 9.每次试验成功的概率为0<P<),则在3次重复独立试验中至多失败两次的概率 考生注意：该试题纸上不准咨题：请格所有咨案一律填号在答题纸上， 为(D) 一、填空题(7×3分=21分) A3p1-pj2.B)3p20-p.(G1-3p3.D1-1-p3 【.某服务台有4个服务员，他们是否需要用台秤是相互独立的，在一小时内每人需用台 秤的概率为}，则4人中最多1人需要台秤的概率为_13四256=0738 10.设随机变量5服从参数为2的指数分布，则随机变量E(5+e)=(A) 之。AB是两个相互独立的随机事作，且子则4-B收 (C)2. (D)不存在 3 3.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为125 11.设5服从参数为9的普哇松分布，刀服从bk:16,0.5),5与n独立，则 人发腰机安路分有列为[日5副共分有强装为F,周F0到-止 D(5-27+)=(C) (A)1 (B)2 (C)25 (D)26 5.设5,7是相互独立的随机变量，且分别服从态数为和的普哇松分布，则5+7 12.设随机变量5~(x)= 学 ，且P5≤c=P52c则C=HC) 服从入+元2：E(5+n)=入+九：D(5+7)=+入： (A)2 B)0 (C)-2 (D)无法确定 13.下列命愿错误的是(D) 6设5展从均值为10，均方差Q2的正态分布，0)了行 2dhL,(2.5)=0.9938, ()(5,n)服从二维正态分布，则5，n均服从正态分布 (B)5,7均服从正态分布，且5与n独立，则5+n均服从正态分布. (C5,刀分别服从正态分布，则(5，刀)不一定服从二维正态分布。 则5落在区间(9.95,10.05)内的概率为2④(2.5)一1=0.9976 (D)（5,1)不一定服从二维正态分布，则5+1均服从正态分布 7.设随机变量5服从0,2上的均匀分布，则 E5)1 D 14设随机变量气，5，，5。相互独立，令刀。=∑，则根据林德贝尔格一列维中心极限 二、选择题(7×3分=21分) 定理.当n充分大时，刀.近似服从正态分布，主要，5，…，。满足(C)） 8.对任意事件A,B,若0<P(4)<1,则有(C) (A)有相同的数学期望. (B)有相同的方差

（B 卷评分标准及参考答案） 课程名称：《概率论》 适用学期：第 五 学期 适用专业：数学与应用数学 适用层次：本科（师范） 考生注意：该试题纸上不准答题，请将所有答案一律填写在答题纸上 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 一、填空题（7×3 分=21 分） 1． 某服务台有 4 个服务员，他们是否需要用台秤是相互独立的，在一小时内每人需用台 秤的概率为 4 1 ，则 4 人中最多 1 人需要台秤的 概率为 189/256=0.738 。 2． 设 A，B 是两个相互独立的随机事件，且 P(A)= 4 1 ，P(B)= 3 1 ，则 P( A − B )= 1/6 。 3． 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 5 6 ”的概率为 17/25 。 4． 设随机变量  的分布列为         0.3 0.5 0.2 0 1 2 ，其分布函数为 F(x) ，则 F(1.5) = 0.8 。 5． 设  ， 是相互独立的随机变量，且分别服从参数为 1 和 2 的普哇松分布，则  +  服从 1 + 2 ；E（  +  ）= 1 + 2 ；D（  +  ）= 1 + 2 6． 设  服从均值为10，均方差0.02的正态分布， , 2 1 ( ) 2 2 x e du x u − −   =  (2.5) =0.9938， 则  落在区间（9.95，10.05）内的概率为 2 (2.5)—1 = 0.9976 。 7． 设随机变量  服从[0，2]上的均匀分布，则 2 (  )  E D = 1/3 。 二、选择题（7×3 分=21 分） 8． 对任意事件 A，B，若 0  P(A)  1 ，则有 （ C ） (A) P( A | B ) +P( A | B )=1 . (B) P( A | B ) +P( A | B )=1. (C) P( A | B ) +P( A | B )=1. (D) P( A | B ) +P( A | B )=1. 9．每次试验成功的概率为 p(0  p  1) ，则在 3 次重复独立试验中至多失败两次的概率 为（ D ） (A) 2 3p(1− p) . (B) 3 (1 ) 2 p − p . (C) 3 1− 3p . (D) 3 1− (1− p) 10．设随机变量  服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 + = E( e −2） （ A ） (A) 3 4 . (B) 4 3 . (C) 2. (D) 不存在 11．设  服从参数为 9 的普哇松分布，  服从 b (k；16，0.5 ) ， 与  独立，则 D ( − 2 +1) )= ( C ) (A) 1 (B) 2 (C) 25 (D) 26 12．设随机变量  ～(x) = 2 ( 2) 2 2 1 + − x e  ，且 P(   c )=P(   c )，则 C=( C ) (A) 2 (B) 0 (C) －2 (D) 无法确定 13．下列命题错误的是 （ D） (A) （  , ）服从二维正态分布，则  ， 均服从正态分布. (B)  ， 均服从正态分布,且  与  独立，则  +  均服从正态分布. (C)  ， 分别服从正态分布, 则（  , ）不一定服从二维正态分布. (D) （  , ）不一定服从二维正态分布, 则  +  均服从正态分布 14.设随机变量    n , , , 1 2  相互独立,令 = = n i n i 1   ,则根据林德贝尔格—列维中心极限 定理,当 n 充分大时,  n 近似服从正态分布,主要    n , , , 1 2  满足( C ) (A) 有相同的数学期望. (B)有相同的方差

(C服从同一指数分布 (D)服从同一离散型分布 三计算(28共) 立，（或：因为Pn=-1/3≠0，所以5，n不相互独立）(3分) 15.已知二维随机变量(5，刀)的联合分布律如下， 16.设和刀是独立的随机变量，分别具有密度函数 (1)求5，n的边缘分布律 「2e-ax20 Je▣y20 2 P4F{0x0,4>0已知，切入≠4，试求(1)随机变量5=ξ+刀的概率密度： (3)5,7的协方差Cov(5,1)和相关 14 0 (2)W=max(5,n)和V=min(5,n)的分布函数 系数P物：(4)5，n是否相互独立？为什么？(14分) (3)(W,V)的联合分布函数(14分). @4r(G4em 解：(1)解：当x0时. p=uendy=wie dy 2)E5=1×314+2×114=514=1.25,E52=12×314+22×1/4=714=1.75, =--e-e*1a* xe“, 1=4 Pwx)=0x<0.(5分) D5=E52-(E5)2=714-(514)2=3116=0.1875. 1-e91-ew)2y20, 同理可得E7=1.25,D5=3/16-0.1875.(4分) (2)W的分布函数为Fr(y)=F:(y)Fy)= 0, y<0. (3E57= V的分布函数F(y)=1-卫-F(y1-Fy川= 1-e",y20, 3分) 0,y<0. 225=1=12+12x4+2xW4+22x0=32 ()由定义(W,V)的联合分布函数为 F(%,)=PW<片，r<)=PW<片)-PW<为，'2为2) Cov(5,n）=E57-EE7=32-5/4×5/4=-1/16=0.0625 =Fw(y)-Pmax{W,}<片，mn{522) 07Bi6x3m6-3-0,3334分 Co5. -1/16 =F0)-P5<,n<,522,n2}) (4)因为P5=Ln=1}=1/2≠3/4×314=p5=1P初=}，所以5，n不相互独 =Fm(y)-P≤5<)Py≤n<)

(C)服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布 三．计算题（28 共） 15. 已知二维随机变量（  ， ）的联合分布律如下， （1）求  ， 的边缘分布律； （2）数学期望 E  和 E  ，方差 D  ，D  ； （3）  ， 的协方差 Cov（  , ）和相关 系数   ；（4）  ， 是否相互独立？为什么？(14 分) 解: (1)  ~         3/ 4 1/ 4 1 2 , ~         3/ 4 1/ 4 1 2 ; (3 分) (2) E  =13/ 4 + 21/ 4 = 5/ 4 = 1.25, E 2  =1 3/ 4 2 1/ 4 7 / 4 1.75, 2 2  +  = = D  = E ( ) 7 / 4 (5/ 4) 3/16 0.1875. 2 2 2  − E = − = = 同理可得 E  =1.25, D  = 3/16 = 0.1875. (4 分) (3)E   = = = = = =   +   +   +   = 2 1 2 1 ( , ) 1 1 1/ 2 1 2 1/ 4 2 1 1/ 4 2 2 0 3/ 2, i j i j i j x y P  x  y Cov（  , ）= E   − EE =3/2 −5/ 45/ 4 = −1/16 = −0.0625   = 1/ 3 0.3333 3/16 3/16 ( , ) 1/16 = −  −  − =     D D Cov (4 分) (4) 因为 P{ = 1, = 1} = 1/ 2  3/ 43/ 4 = p{ = 1}P{ = 1} , 所以  ，  不相互独 立,(或:因为   = −1/ 3  0, 所以  ， 不相互独立.) (3 分) 16. 设  和  是独立的随机变量，分别具有密度函数 p  (x)=      − 0 0 0 x e x x  p  (y)=      − 0 0 0 y e y x  。 其中参数  >0，  >0 已知，切    ，试求（1）随机变量  = +  的概率密度； （2）W=max（  , ）和 V= m in（  , ）的分布函数； （3）（W，V）的联合分布函数（14 分）. 解: (1)解:当 x>0 时,   − − − − − − + =    = x x x y y x y p x e e dy e e dy 0 0 ( ) ( ) ( )              = −  −  = − − − , ; /( ) [ ], 2            x x x xe e e ( ) = 0,  0 + p x x   . (5 分) (2) W 的分布函数为     − −  = = − − 0, 0. (1 )(1 ), 0, ( ) ( ) ( ) y e e y F y F y F y y y W     V 的分布函数     −  = − − − = − + 0, 0. 1 , 0, ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] ( ) y e y F y F y F y y V     (3 分) (3)由定义（W，V）的联合分布函数为 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 1 2 1 2 1 1 2 F y y = P W  y V  y = P W  y − P W  y V  y = ( ) (max{ , } ,min{ , }) 1 1 2 F y P W V y y W −     = ( ) ( , , , }) 1 1 1 2 2 F y P y y y y W −         = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 F y P y y P y y W −        1 2 1 2 1/2 1/4 1/4 0

e博-e+e-所+e潮m-e,0≤乃≤乃，】 五.证明题（每题6分，共18分） (1-eI-e师) 片>片20 (6分) 19.设5为连续型随机变量，对任意的常数4，E(5-4)'0，有mP阳之2-g2K=l. B+元 解：保险公司一年的保险总数40000元，设在一年内死亡人数为随机变量5，在这次保 证明：2的期望和方差为E52=σ2，D52=E54-o.而5：2(=1,2，-)仍相互 险中保险公司亏本时，当且仅当20005>400000，即5>200，(2分) 从而在这次保险中保险公司亏本的概率为 验立，B亡之的=a,D之-Dg,从面由契比晓夫不等式即亚得(6分： n P(5>200)=P( 5-170 30 )≈1-Φ(2.321)=0.014(4分) √170×0.983√170×0.983

=           − −   − − + + −   − − − − − − − − − + 0 其他 (1 )(1 ) 0 1 , 0 , 2 1 2 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 2 e e y y e e e e e y y y y y y y y y y y           (6 分) 四．应用题（12 分） 17．设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者患 高血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压的概率为 10%，瘦者患高血压的概率为 5%， 试求：（1）该地区居民患高血压病的概率； （2）若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大？（6 分） 解： A (i =1,2,3) i 分别表示居民为肥胖者，不胖不瘦者，瘦者.B：“居民患高血压病” 则 ( ) 0.1, P A1 = ( ) 0.82, P A2 = ( ) 0.08, P A3 = ( | ) 0.2, P B A1 = ( | ) 0.1, P B A2 = ( | ) 0.05, P B A3 = 由全概率公式 ( ) ( ) ( | ) 0.106 3 1 =  = = i i P B P Ai P B A （4 分） 由贝叶斯公式 53 10 ( ) ( ) ( | ) 0.106 ( | ) 1 1 = = = P B P A P B A P A B i 。 （2 分） 18．在一家保险公司的老年人保险一年有 10 000 个人参加保险，每人每年付 40 元保险费。 在一年内一个人死亡的概率为 0.017，死亡时其家属可向保险公司领得 2000 元，试计算在 这次保险中保险公司亏本的概率多大？（6 分） 附:  （2.321）=0.986,  （1.321）=0.906. 解：保险公司一年的保险总数 400 000 元，设在一年内死亡人数为随机变量  ，在这次保 险中保险公司亏本时，当且仅当 2000  >400 000， 即  >200，(2 分) 从而在这次保险中保险公司亏本的概率为 P（  >200）= P（ 170 0.983 30 170 0.983 170     − ）  1－ (2.321) =0.014 （4 分） 五．证明题（每题 6 分, 共 18 分） 19．设  为连续型随机变量，对任意的常数  , −   r E( ) (r>0)，证明有 r r E P       | | (| | ) − −   。 证： P p x dx p x dx x r r x−   −  − −  =              | | | | ( ) | | (| | ) ( ) （4 分） 从而 r r E P       | | (| | ) − −   。 （2 分） 20．设  n  为相互独立的随机变量序列，且 ~ U(0,b)  n （b>0 为常数）。证明 b P  n = max{ 1 ,  , n } ⎯→ 。 证明：         = x b x b x b x F x n 1 / (0, ) 0 0  ~ ( ) ，从而         = x b x b x b x F x n n n 1 ( / ) (0, ) 0 0  ~ ( ) （3 分） lim {| | } 1 ( ) ( ) ( ) → 0,( → ) − −  = − + + − = → n b b P b F b F b n n n n n      （3 分）。 21．设  n  为相互独立的随机变量序列，且服从相同的分布： = 0, E i 2 D i =  ，又 4 E i 存在 ( i=1，2，…) ，证明对任意的   0, 有 | } 1 1 lim {| 2 1 2  −  = = →    n i i n n P 。 证明： 2  i 的期望和方差为 2 2 Ei = ， 2 4 4 Di = Ei − 。而 2  i ( i=1，2，…)仍相互 独立， ) , 1 ( 2 1 2  =  = n i i n E , 1 ) 1 ( 2 1 2 i n i i D n n D  =  = 从而由契比晓夫不等式即证得 （6 分）