上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题第一章 第一章随机事件及其概率 一、内容提要与大纲要求 内容提要 1.随机事件与样本空间： 2.事件的关系运算； 3.概率的定义和概率的基本性质： 4.古典概型、几何概型、条件概率： 5.概率的加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式： 6.事件的独立性，独立重复试验。 大纲要求 1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算： 2了解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算古典概型、几何概 型的概率： 3.掌握概率的加法公式和乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式： 4.理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算： 5.理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二、典型例题 例1、P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至 少有一个发生的概率。 解：由ABC C AB,得O≤P(ABC)≤P(AB)=O,即P(ABC)=0,故所求为 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =/4+1/4+1/4-0-0-1/8+0=5/8。 例2、从5双不同鞋子中任取4只，求这4只中至少有2只配成一双的概率。 解：从5双鞋子中任取4只共有C0种取法，4只中至少有2只配成双的取法有 C?+C;.CCC种，故所求概率为(C?+C;CCC/C=13/21。 或：4只都不成双的取法有CCCC2C2种
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第一章 第一章 随机事件及其概率 一、内容提要与大纲要求 内容提要 1. 随机事件与样本空间； 2. 事件的关系运算； 3. 概率的定义和概率的基本性质； 4. 古典概型、几何概型、条件概率； 5. 概率的加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式； 6. 事件的独立性，独立重复试验。 大纲要求 1. 理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2. 了解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算古典概型、几何概 型的概率； 3. 掌握概率的加法公式和乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式； 4. 理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算； 5. 理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二、典型例题 例 1、 = = = = = ACPBCPABPCPBPAP = 81)(,0)()(,41)()()( ，求 至 少有一个发生的概率。 ,, CBA 解：由 ⊂ ABABC ，得 ≤ ≤ ABPABCP = 即 ABCP = 0)(,0)()(0 ，故所求为 ∪∪ = ++ − − − + ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP )()()()()()()()( ++= − − − + = 8508100414141 。 例 2、从 5 双不同鞋子中任取 4 只，求这 4 只中至少有 2 只配成一双的概率。 解：从 5 双鞋子中任取 4 只共有 种取法，4 只中至少有 2 只配成双的取法有 种，故所求概率为 4 C10 1 2 1 2 2 4 1 5 2 5 ⋅+ CCCCC ( ) 2113 4 10 1 2 1 2 2 4 1 5 2 C5 + ⋅ CCCCC = 。 或：4 只都不成双的取法有 5 4 2 1 2 1 2 1 CCCCC 2 1 种
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题第一章 故所求概率为1-C.CC.C.C/C。=13/21。 例3、从1~100中任取一个整数，求它能被5或9整除的概率。 解：设A、B分别表示此数可被5、9整除，则AUB表示此数能被5或9整除， AB表示此数能被45整除。 00P= 由-201<1g<122<<3.得0= 9 45 故P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=29100· 例4、某镜子第一次落下时打破的概率为2。若第一次落下未打破，第二次落下 打破的概率为7小0。若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为910。求此镜子 落下三次未打破的概率。 解：设4为“第i次没打破”，(1=1,2,3)，则4○4一A, 所求为P(4)=P(442A4)=P(4442)P(A4)P(4) =1-9/101-7101-/2)=3200. 例5、甲、乙两台车床加工同样的零件。若甲、乙出废品的概率分别为0.03和0.02， 且甲的产量是乙的2倍，①求任取一件是合格品的概率；②如果取出一件是次品，求 它是甲加工的概率。 解：设A表示任取一件是合格品，B表示产品为甲加工，则B表示产品为乙加 工，且P(4B)=0.97,P(AB)=0.98,P(B)=2/3,P(B)=1/3。 (1)由全概率公式 P(A)=P(AB)PB)+P(AB)P(B)=97/100×23+98100×1/3=73/75。 (2)由贝叶斯公式，所求为 啊n-2器-. P(A) 例6、三人分别独立向某车辆的三个部位射击，命中率分别为)4,13,1/2，任一 人射中，车辆即报废，求(1)该车报废的概率：2恰有一个人命中目标的概率。 解：设A,B,C分别表示三人击中，则P(4)=4,P(B)=3,P(C)=/2,且A,B,C 相互独立。 ()所求概率为
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第一章 故所求概率为1 2113 4 10 1 2 1 2 1 2 1 2 4 − 5 CCCCCC = 。 例 3、从 中任取一个整数，求它能被 100~1 5 或 9 整除的概率。 解：设 、A B 分别表示此数可被 5、9 整除，则 A ∪ B 表示此数能被 5 或 9 整除， AB 表示此数能被 45 整除。 由 3 45 100 2,12 9 100 11,20 5 100 <<<<= ，得 100 2 )(, 100 11 )(, 100 20 )( = = ABPBPAP = 故 ∪ = + − ABPBPAPBAP = 10029)()()()( 。 例 4、某镜子第一次落下时打破的概率为 21 。若第一次落下未打破，第二次落下 打破的概率为 107 。若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 109 。求此镜子 落下三次未打破的概率。 解：设 Ai 为“第i 次没打破”，（ ），则 i = 3,2,1 ⊃ ⊃ AAA 321 ， 所求为 )()()()()( 3 = 321 = APAAPAAAPAAAPAP 112213 ( ) −= ( ) − ( − ) = 200321110711091 。 例 5、甲、乙两台车床加工同样的零件。若甲、乙出废品的概率分别为 0.03 和 0.02， 且甲的产量是乙的 2 倍，①求任取一件是合格品的概率；②如果取出一件是次品，求 它是甲加工的概率。 解：设 A 表示任取一件是合格品， B 表示产品为甲加工，则 B 表示产品为乙加 工，且 = = PBAPBAP (,98.0)(,97.0)( B) = BP = 31)(,32 。 (1) 由全概率公式 = + BPBAPBPBAPAP =×+×= 757331100983210097)()()()()( 。 (2) 由贝叶斯公式，所求为 43 75731 3203.0 )( )()( )( = − × = = AP BPBAP ABP 。 例 6、三人分别独立向某车辆的三个部位射击，命中率分别为 21,31,41 ，任一 人射中，车辆即报废，求(1)该车报废的概率；(2)恰有一个人命中目标的概率。 解：设 ,, CBA 分别表示三人击中，则 = = CPBPAP = 21)(,31)(,41)( ，且 相互独立。 ,, CBA (1) 所求概率为
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题第一章 P(AUBUC)=I-P(AUBUC)=1-P(ABC)=I-P(PB)P(C)(独立性) =1-1-V4)01-1/31-1V2)=3/4. P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) P()+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)+P(A)P(B)P(C) =1/4+1/3+1/2-1/12-1/6-1/8+1/24=3/4。 (2)所求概率为 P(ABCABCABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)(两两不相容) =P(4)P(B)P(C)+P(AP(B)P(C)+PA)P(B)P(C)(相互独立) 号*对+对+*对品 三、习题 I,选择题 1.设A、B、C是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是( (A)(4UB）-B=A-B (B)(A-B)B=A (C)(AUB)-C=AU(B-C) (D)AUB=ABUAB 2.若两事件A和B同时出现的概率P(AB)=0,则()。 (A)A和B不相容 (B)AB是不可能事件 (C)AB未必是不可能事件 D)P(A)=0或P(B)=0 3.对于任意两事件A和B,有P(A-B)=() (A)P(A)-P(B) (B)P(A)-P(B)+P(AB) (C)P(A)-P(AB) (D)P(A)+P(B)-P(AB) 4.设A和B是两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中正确的是()。 (A)A与B不相容 (B)A与B相容 (C)P(AB)=P(A)P(B) (D)P(A-B)=P(A) 5.设当事件A和B同时发生时，事件C必发生，则()。 (A)PC)≤P(A)+PB)-1 (B)P(C)2P(A)+PB)-1 (C)P(C)=P(AB) (D)P(C)=P(AUB) 6.设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(4B)+P4B=1,则() (A)事件A和B互不相容 (B)事件A和B互相对立
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第一章 −=∪∪−=∪∪ −= CPBPAPCBAPCBAPCBAP )()()(1)(1)(1)( (独立性) ( ) −−= ( − )( ) =− 432113114111 。 或： ∪∪ = + + − − − + ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP )()()()()()()()( += + − − − + CPBPAPCPAPCPBPBPAPCPBPAP )()()()()()()()()()()()( ++= − − − + = 432418161121213141 。 (2) 所求概率为 ( =∪∪ + + CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP )()()() （两两不相容） = + + CPBPAPCPBPAPCPBPAP )()()()()()()()()( （相互独立） 24 11 2 1 3 2 4 3 2 1 3 1 4 3 2 1 3 2 4 1 =××+××+××= 。 三、习题 Ⅰ. 选择题 1. 设 、A B 、C 是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是( )。 (A) ( ) ∪ − = − BABBA (B) ( − )∪ = ABBA (C) () ( ∪ − = ∪ − CBACBA ) (D) A ∪ B = AB ∪ AB 2. 若两事件 和A B 同时出现的概率 ABP = 0)( ，则( )。 (A) A和 B 不相容 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) AP = 0)( 或 BP = 0)( 3. 对于任意两事件 和A B ，有 − BAP )( = ( )。 (A) − BPAP )()( (B) − + ABPBPAP )()()( (C) − ABPAP )()( (D) −+ BAPBPAP )()()( 4. 设 和A B 是两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中正确的是( )。 (A) A与 B 不相容 (B) A与 B 相容 (C) = BPAPABP )()()( (D) − = APBAP )()( 5. 设当事件 和A B 同时发生时，事件C 必发生，则( )。 (A) ≤ + BPAPCP −1)()()( (B) ≥ + BPAPCP −1)()()( (C) = ABPCP )()( (D) = ∪ BAPCP )()( 6. 设 <<<< ,1)(0,1)(0 ( ) ( BAPBAPBPAP ) =+ 1，则( )。 (A) 事件 和A B 互不相容 (B) 事件 和A B 互相对立
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题第一章 (C)事件A和B互不独立 (D)事件A和B相互独立 7.设A和B是任意两个事件且ACB,P(B)>0,则()。 (A)P(A)P(AB) (D)P(A)≥P(AB) 8.对于任意两事件A和B,与4UB=B不等价的是()。 (A)ACB (B)Bc4 (C)AB= (D)AB= 9.对于任意两事件A和B,()。 (A)若AB≠☑，则A,B一定独立(B)若AB≠O,则A,B有可能独立 (C)若AB=⑦，则A,B一定独立(D)若AB=⑦，则A,B一定不独立 10.设A,B是两个随机事件，且00,P(BA)=P8A,则必有 (A)P(4B)=PB) (B)P(4B)≠PAB (C)P(AB)=P(A)P(B) (D)P(AB)≠P(A)P(B) Ⅱ.填空题 1.假设P(4)=0.4,P(AUB)=0.7,那么 (I)若A与B互不相容，则P(B)=_: (2)若A与B相互独立，则P(B)= 2.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格 品，则另一件也是不合格品的概率为 3.已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率 P(BA=O.8,则和事件AUB的概率P(AUB)= 4.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。现已知 目标被命中，则它是甲命中的概率为 5.设随机事件A,B及其和事件AUB的概率分别是0.4,0.3和0.6。若B表示B 的对立事件，那么积事件AB的概率PAB= 6.已知P(A)=P(B)=PC)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,则事件 A,B,C全不发生的概率为」
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第一章 (C) 事件 和A B 互不独立 (D) 事件 和A B 相互独立 7. 设 和A B 是任意两个事件且 BPBA >⊂ 0)(, ，则( )。 (A) BAPAP )()( (D) ≥ BAPAP )()( 8. 对于任意两事件 和A B ，与 ∪ = BBA 不等价的是( )。 (A) A ⊂ B (B) B ⊂ A (C) BA ∅= (D) BA ∅= 9. 对于任意两事件 和A B ，( )。 (A) 若 AB ≠ ∅ ，则 一定独立 , BA (B) 若 AB ≠ ∅ ，则 有可能独立 , BA (C) 若 AB = ∅ ，则 一定独立 ,BA (D) 若 AB = ∅ ，则 一定不独立 , BA 10. 设 是两个随机事件，且 ,BA ><< ,0)(,1)(0 ( ) = ( ABPABPBPAP )，则必有 ( )。 (A) ( ) = ( BAPBAP ) (B) ( ) ≠ ( BAPBAP ) (C) = BPAPABP )()()( (D) ≠ BPAPABP )()()( Ⅱ. 填空题 1. 假设 = BAPAP =∪ 7.0)(,4.0)( ，那么 (1) 若 与A B 互不相容，则 BP )( = ； (2) 若 与A B 相互独立，则 BP )( = 。 2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格 品，则另一件也是不合格品的概率为 。 3. 已知随机事件 A的概率 P A = 5.0)( ，随机事件 B 的概率 BP = 6.0)( 及条件概率 ( ) ABP = 8.0 ，则和事件 A ∪ B 的概率 ( ∪ BAP ) = 。 4. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5。现已知 目标被命中，则它是甲命中的概率为 。 5. 设随机事件 及其和事件 , BA A ∪ B 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6。若 B 表示 B 的对立事件，那么积事件 AB 的概率 ( BAP )= 。 6. 已知 = == = = BCPACPABPCPBPAP = 61)()(,0)(,41)()()( ，则事件 A B,, C 全不发生的概率为
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题第一章 7.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不 再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 8.已知A,B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=一。 9.在区间(0,1)中随机取两个数，则事件“两数之和小于65”的概率为 10.随机地向半圆0<y<√2m-x2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任 何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π4的概 率为 Ⅲ。计算与证明题 1.设AB为随机事件，P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB)。 2.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为/9，A发生B不发生的概率与 B发生A不发生的概率相等，求P()。 3.设A,B为两事件且P(4)=0.6,P(B)=0.7,问在什么条件下，P(AB)取到最 大值和最小值，最大值和最小值各是多少？ 4.从12000中随机取一整数，求所取整数不能被6和8整除的概率。 5.从5双不同手套中任取4只，求(1)恰有2只配对的概率；(2)至少有2只配对 的概率。 6.某专业有两个班共70人，求该专业中至少有两人生日相同的概率。 7.甲乙两人约定在某一时间段T内在某地方见面，先到者等1（口<T)时间后才可 离去。假设他们在时间段T内各时刻到达的可能性相等，且两人到达的时刻互不影响。 求甲乙两人能见面的概率。 8.任取两个正的真分数，求它们的乘积不大于4的概率。（题误） 9.(薄丰投针问题)在平面上画许多条距离为α的平行线，然后向该平面上随机地 掷一根长度为1(<)的针，求这根针能与平面上任一条直线相交的概率。 (提示：设x为针的中点与最近直线的距离，O为针与该直线的夹角，从而易得针与直 线相交的条件。) 10.已知P4)=V4,P(E4)=V3,P4B)=1/2,求P4UB)。 11.设P(4)=0.10,P(BA)=0.90,PBA=0.20,求P(4B. 12.某种动物从出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4。问现年20
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第一章 7. 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不 再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。 8. 已知 两个事件满足条件 , BA = BAPABP )()( ，且 )( = pAP ，则 BP )( = 。 9. 在区间 中随机取两个数，则事件“两数之和小于 )1,0( 56 ”的概率为 。 10. 随机地向半圆 2 20 −<< xaxy （ 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任 何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 a x 轴的夹角小于π 4 的概 率为 。 Ⅲ. 计算与证明题 1. 设 为随机事件， , BA = − BAPAP = 3.0)(,7.0)( ，求 ABP )( 。 2. 设两个相互独立事件 A和 B 都不发生的概率为 91 ， A发生 B 不发生的概率与 B 发生 A不发生的概率相等，求 。 P(A) 3. 设 , BA 为两事件且 = BPAP = 7.0)(,6.0)( ，问在什么条件下， 取到最 大值和最小值，最大值和最小值各是多少？ ABP )( 4. 从 1~2000 中随机取一整数，求所取整数不能被 6 和 8 整除的概率。 5. 从 5 双不同手套中任取 4 只，求(1)恰有 2 只配对的概率；(2)至少有 2 只配对 的概率。 6. 某专业有两个班共 70 人，求该专业中至少有两人生日相同的概率。 7. 甲乙两人约定在某一时间段T 内在某地方见面，先到者等 < Ttt )( 时间后才可 离去。假设他们在时间段T 内各时刻到达的可能性相等，且两人到达的时刻互不影响。 求甲乙两人能见面的概率。 8. 任取两个正的真分数，求它们的乘积不大于 41 的概率。(题误) 9. (薄丰投针问题)在平面上画许多条距离为 的平行线，然后向该平面上随机地 掷一根长度为 a < all )( 的针，求这根针能与平面上任一条直线相交的概率。 (提示：设 x为针的中点与最近直线的距离，θ 为针与该直线的夹角，从而易得针与直 线相交的条件。) 10. 已知 ( ) = ( )= ( BAPABPAP ) = 21,31,41 ，求 ( ∪ BAP )。 11. 设 ( ) = ( ) = ( ABPABPAP )= 20.0,90.0,10.0 ，求 ( BAP )。 12. 某种动物从出生活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4。问现年 20
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题第一章 岁这种动物活到25岁的概率是多少？ 13.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知 目标被命中，则它是乙射中的概率是多少？ 14.甲、乙两台车床加工同样的零件。若甲、乙出废品的概率分别为0.03和0.02， 且甲的产量是乙的2倍，①求任取一件是合格品的概率：②如果取出一件是次品，求 它是甲加工的概率。 15.将两信息分别编码为A和B传递出去。接收站收到时，A被误收为B的概率 为0.02，而B被误收为A的概率为0.01。信息A、B传送的频繁程度为2：1。若接 收站收到的信息为A,求原发信息也为A的概率。 16.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品：第二箱内装30 件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零 件（取出的零件均不放回）。试求 ()先取出的零件是一等品的概率P:(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二 次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。 17.玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8.0.1 和0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4 只。若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求 (1)顾客买下该箱的概率α：(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率B。 18.试证：若P(A)>0,P(B)>0,则随机事件A和B相互独立与互不相容不能同 时成立。 19.三位射手同时独立向敌坦克射击，一射驾驶室、一射油箱、一射发动机，命 中率分别为4,3，/2，任一人射中，坦克即报废。求(1)该车报废的概率：(2)恰有 一个人命中目标的概率。 20.一电路如图所示，a,b,c,d表示继电器，每一继电器接通的概率均为0.5。设 a,b,c,d相互独立，求L至R电路通的概率。 a
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第一章 岁这种动物活到 25 岁的概率是多少？ 13. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.5 和 0.4，现已知 目标被命中，则它是乙射中的概率是多少？ 14. 甲、乙两台车床加工同样的零件。若甲、乙出废品的概率分别为 0.03 和 0.02， 且甲的产量是乙的 2 倍，①求任取一件是合格品的概率；②如果取出一件是次品，求 它是甲加工的概率。 15. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去。接收站收到时，A 被误收为 B 的概率 为 0.02，而 B 被误收为 A 的概率为 0.01。信息 A、B 传送的频繁程度为 2：1。若接 收站收到的信息为 A，求原发信息也为 A 的概率。 16. 假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零 件（取出的零件均不放回）。试求 (1)先取出的零件是一等品的概率 p ；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二 次取出的零件仍然是一等品的条件概率 。q 17. 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。假设各箱含 0,1,2 只残次品的概率相应为 0.8,0.1 和 0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只。若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求 (1)顾客买下该箱的概率α ；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 β 。 18. 试证：若 BPAP >> 0)(,0)( ，则随机事件 和A B 相互独立与互不相容不能同 时成立。 19. 三位射手同时独立向敌坦克射击，一射驾驶室、一射油箱、一射发动机，命 中率分别为 21,31,41 ，任一人射中，坦克即报废。求(1)该车报废的概率；(2)恰有 一个人命中目标的概率。 20. 一电路如图所示， 表示继电器，每一继电器接通的概率均为 0.5。设 相互独立，求 L 至 R 电路通的概率。 ,,, dcba ,,, dcba
