上饶师范学院试卷(B卷答案及评分标准) 课程名称：《概率论》 适用学期：第五学期 适用专业：数学与应用数学适用层次：本科（师范】 一、填空题(8×3分=24分) 1.设A、B、C是三事件且PA)PB=PC=行PAB)=PBC=P(AC)-PABC)-1G 则P(AUBUO)=23/80 ,P(AEC)=57/80 2。在三次独立试酸中，事件A出暖的版率相等，若已阳A出现一次的瓶率为号。则事件 A在一次试验中出现的概率为 3.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6”的概率为1725 意飘药均方0阳E老小-点血25 2 则5落在区间(9.95,10.05)内的概率为2(2.5)一1=0.9976 三设随机变量眼0心2正的均向分布，则0一 6。有朋友从远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4。如 果他桑火车、轮船、汽车来的话。迟到的概率分别为子了而乘飞机不会迟到 结果他迟到了。则他是乘火车来的概率是05 7.设随机变量5服从元的泊松分布，且P(5=2)=P(5=4),则元=12 8.某射手每次击中目标的概率为0.29，今进行多次试验，每次试验为连续射击10次，则 每次试验的平均击中次数为3_ 二、选择题(5×3分=15分) 9.若事件A和B同时出现的概率PAB)=O,则(B) (A)AB为不可能事件 (B)AB未必是不可能事件 (CA和B不相容 (D)P(A)0或P(B)0 10.设A,B是两个随机事件，若当B发生是A必发生，则定有() (A)P(AB)=P(A) (B)P(A+B)=P(A) (C)P(BIA)=1 (D)P(BA)=P(A) 11.设5为随机变量，且E5=-2,D5=4,则E3(52+2)（C)》 (A)9 (B)-6 (C30 (D)42
上 饶 师 范 学 院 试 卷 （ B 卷答案及评分标准） 课程名称：《概率论》 适用学期：第 五 学期 适用专业：数学与应用数学 适用层次：本科（师范） 一、填空题（8×3 分=24 分） 1． 设 A、B、C 是三事件且 P(A)=P(B)=P(C)= 5 1 , P(AB)=P(BC)=P(AC)= 8 1 , P(ABC)= 16 1 则 P(A B C)= 23/80 , P( A B C )= 57/80 。 2． 在三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等。若已知 A 出现一次的概率为 27 19 ，则事件 A 在一次试验中出现的概率为 。 3． 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 5 6 ”的概率为 17/25 。 4． 设 服从均值为 10，均方差 0.02 的正态分布， , 2 1 ( ) 2 2 x e du x u − − = (2.5) =0.9938， 则 落在区间（9.95，10.05）内的概率为 2 (2.5)—1 = 0.9976 。 5． 设随机变量 服从[0，2]上的均匀分布，则 2 ( ) E D = 1/3 。 6． 有朋友从远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4。如 果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为 4 1 ， 3 1 ， 12 1 ，而乘飞机不会迟到。 结果他迟到了。则他是乘火车来的概率是 0.15 。 7． 设随机变量 服从 的泊松分布，且 P( =2)=P( =4) ，则 = 12 。 8． 某射手每次击中目标的概率为 0.29，今进行多次试验，每次试验为连续射击 10 次，则 每次试验的平均击中次数为 3 。 二、选择题（5×3 分=15 分） 9．若事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则 （ B ） (A) AB 为不可能事件 (B) AB 未必是不可能事件 (C) A 和 B 不相容 (D) P(A)=0 或 P(B)=0 10．设 A，B 是两个随机事件，若当 B 发生是 A 必发生，则定有（ ） (A) P (AB) = P (A) (B) P (A+B) = P (A) (C) P (B|A) = 1 (D) P (B|A) =P (A) 11．设 为随机变量，且 E =－2，D = 4，则 E[3（ 2 +2）]=（ C ） (A) 9 (B) －6 (C) 30 (D) 42
1234 12.设随机变量5 ,则a,b分别等于(D) 1 1 1 1 机变量5p(x)=⑦e2,且P(5≤cP52c (A) (B)0 一2(D)无法确定 三、判断对错并说明理由(5×3分=15分 14.对于同时投掷甲、乙两枚硬币的试验。若记A=“甲、乙硬币均正面朝上”，则其对立事 件A=“甲、乙硬币都不是正面朝上”。 解：不正确：A=“甲、乙两枚硬币至少有一枚反面朝上” 15“事件A、B、C两两互不相容”与“ABC=·”是一回事。 解：不正确：“事件A、B、C两两互不相容”可以推出“ABC=”,但“ABC=”不能推 出“事件A、B、C两两互不相容”。 0 x<0 16.函数F(x)=x2 05x51和F)-子mg,-o<x<o x21 都可作为某一随机变量的分布函数。 解：不正确：第一个是，但第二个不是，一1F(x)=2aCg<1,而F闭是非负的。 17.随机变量独立和不相关是相互等价的一组概念。 解：不正确：随机变量独立可以推出不相关，但不相关不一定得到随机变量独立。 18.对于任意的随机变量5，E5,E52都存在，则E52≥(E5)2。 解：正确：由于D5=E52一(E5)2≥0，则E52≥(E5)2。 四.计算题（共40分） 19.设随机向量（5,1)的联合分布律如下，(1)求5的边缘分布律：(2)求+7的分 布律：(3)求E(5·n):(4)P(5-n3)(10分)
12．设随机变量 ～ a b 4 1 6 1 1 2 3 4 ，则 a，b 分别等于 （ D ） (A) a= 6 1 ，b= 4 1 (B) a= 12 1 ，b= 12 5 (C) a= 12 1 ，b= 15 2 (D) a= 4 1 ，b= 3 1 13 设随机变量 ～(x) = 2 ( 2) 2 2 1 + − x e ，且 P( c )=P( c )，则 C=( C ) (A) 2 (B) 0 (C) －2 (D) 无法确定 三、判断对错并说明理由（5×3 分=15 分） 14．对于同时投掷甲、乙两枚硬币的试验。若记 A=“甲、乙硬币均正面朝上”，则其对立事 件 A =“甲、乙硬币都不是正面朝上”。 解：不正确： A =“甲、乙两枚硬币至少有一枚反面朝上” 15“事件 A、B、C 两两互不相容”与“ABC= ”是一回事。 解：不正确：“事件 A、B、C 两两互不相容”可以推出“ABC= ”，但“ABC= ”不能推 出“事件 A、B、C 两两互不相容”。 16．函数 F（x）= 1 1 0 1 0 0 2 x x x x 和 F（x）= 2 arctgx ，－ x 都可作为某一随机变量的分布函数。 解：不正确：第一个是，但第二个不是，一 1<F（x）= 2 arctgx<1,而 F(x)是非负的。 17．随机变量独立和不相关是相互等价的一组概念。 解：不正确：随机变量独立可以推出不相关，但不相关不一定得到随机变量独立。 18．对于任意的随机变量 ，E ，E 2 都存在，则 E 2 2 (E ) 。 解：正确：由于 D = E 2 — 2 (E ) 0，则 E 2 2 (E ) 。 四．计算题（ 共 40 分） 19．设随机向量（ ， ）的联合分布律如下，（1）求 的边缘分布律；（2）求 + 的分 布律；（3）求 E（ · ） ；（4）P（ － 3）(10 分)
1 2 3 4 1/8000 2 1/81/8 00 3 1/81/80 4 01V161/161/8 解：D5的边缘分布律/8V43181V4 (1234） (2分) 2)5+7的分布律为[2.345678) (3分)】 1/81/81/41/83/161/161/8 (3)E(5·n)=1×1×1/8+2×1×1/8+2×2×1/8+3×1×1/8+3×2×/8+3×3×1/8 +4×2×1/16+4×3×1/16+4×4×1/8=51/8 (3分) (4)P(5-n23)=1/8 (2分) 20设5和n是独立的随机变量，分别具有密度函数 ie x>0 P:(x50 (y)= uex20 10x0,4>0)，求随机变量5=5+n的概率密度。(10分) 院 k(x+y)0≤x≤20≤y≤2 21.设随机变量(5,7)具有概率密度p(K,y)= 0 其它。 求(1)确定k,(2)E5,(3)Cov(5,7),(4)D(5+n),(5)P。(12分) 解：(1)由f(x,y)在区域G:0<x2,0y2上积分为1，得k=18(2分) 5-后x+w-.5jfg+冰- ·(2分) 由5和n的对称性有E5=-En=76,En2-E52=53,且Dn=D5=1V36,(2分)
解：（1） 的边缘分布律为 1/ 8 1/ 4 3/8 1/ 4 1 2 3 4 （2 分） （2） + 的分布律为 1/8 1/8 1/ 4 1/8 3/16 1/16 1/8 2 3 4 5 6 7 8 （3 分） （3）E（ · ）=1 1 1/8 + 2 1 1/8 +2 2 1/8 +3 1 1/8 +3 2 1/8 +3 3 1/8 +4 2 1/16 + 4 3 1/16 + 4 4 1/8=51/8 （3 分） （4）P（ － 3）= 1/8 （2 分） 20 设 和 是独立的随机变量，分别具有密度函数 p (x)= − 0 0 0 x e x x p (y)= − 0 0 0 x e x x 。 (其中 >0， >0)，求随机变量 = + 的概率密度。 （10 分） 解： 21．设随机变量（ ， ）具有概率密度 p (x，y)= + 0 其它。 k(x y) 0 x 2 0 y 2 ， 求（1）确定 k，（2）E ，（3）Cov( ， )，（4）D（ + ），（5） 。（12 分） 解：（1）由 f (x，y)在区域 G：0<x<2, 0<y<2 上积分为 1，得 k=1/8 （2 分） （2）由 f (x，y)在 G：0<x<2, 0<y<2 上不等于 0. 从而 E = + = 2 0 2 0 7 6 ( ) 8 1 dx x y dy （2 分） （3）E 2 = 3 5 ( ) 8 2 0 2 2 0 + = x y dy x dx , E = + = 2 0 2 0 3 4 ( ) 8 x y dy xy dx (2 分) 由 和 的对称性有 E =E =7/6, E 2 = E 2 =5/3, 且 D =D =11/36, (2 分) 1 2 3 4 1 2 3 4 1/8 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/8 1/8 1/8 0 0 1/16 1/16 1/8
从而c5r-6分、w5*n=5+5n2co5.nr号别 份微器-品 (2分) 22.在一家保险公司的老年人保险一年有10000个人参加保险，每人每年付40元保险费。 在一年内一个人死亡的概率为0.017，死亡时其家属可向保险公司领得2000元，试计算在这 次保险中保险公司亏本的概率多大？己知中(2.321)-0.986(8分) 解：保险公司一年的保险总数400000元，设在一年内死亡人数为随机变量5，在这次保险 中保险公司亏本时，当且仅当20005>400000，即5>200，(4分) 从而在这次保险中保险公司亏本的概率为 P(5>20)=p(-170 70x0988>70x0985）1232)0014(4分) 30 四.证明题(6分) 23.设怎，}为相互独立的随机变量序列，P(5.=士2”)=2m,P(5,0)=-2西· n=1,2,…,证明{占}服从大数定理。 解5-×点-20x-点)0 1 1 D5.=2×2×2l (2分) 令几.号空，m…圆E以心D肌咖，对任金的G>Q由切北省夫不待 式可知P以-E水e)21-·故有▣，-EnK).即展从大 数定理。(4分)
从而 Cov( , )= 36 1 − (1 分) , （4） D( + )=D + +2Cov( , )= 9 5 (1 分) （5） = 11 ( , ) 1 = − D D Cov (2 分) 22．在一家保险公司的老年人保险一年有 10 000 个人参加保险，每人每年付 40 元保险费。 在一年内一个人死亡的概率为 0.017，死亡时其家属可向保险公司领得 2000 元，试计算在这 次保险中保险公司亏本的概率多大？已知 （2.321）=0.986 （8 分） 解：保险公司一年的保险总数 400 000 元，设在一年内死亡人数为随机变量 ，在这次保险 中保险公司亏本时，当且仅当 2000 >400 000， 即 >200，(4 分) 从而在这次保险中保险公司亏本的概率为 P（ >200）= P（ 170 0.983 30 170 0.983 170 − ） 1－ (2.321) =0.014 （4 分） 四．证明题（6 分） 23．设 n 为相互独立的随机变量序列，P（ n = 2 n ）= (2 1) 2 1 n+ ，P（ n =0）=1－ 2n 2 1 ， n=1，2，…，证明 n 服从大数定理。 解：E n = 2 n (2 1) 2 1 n+ －2 n (2 1) 2 1 n+ +0 （1－ 2n 2 1 ）=0， D n = 2 2n (2 1) 2 1 n+ +2 2n (2 1) 2 1 n+ =1。 （2 分） 令 n = = n i i n 1 1 ，n=1,2, ，则 E n =0，D n =1/n ，对任意的 0, 由切比雪夫不等 式可知 P（| n —E n |< ） 1 2 1 n − 。故有 n→ lim （| n —E n |< ）=1。即 n 服从大 数定理。（4 分）