统计推断方法案例解析！ 背景：有一个老人到商店花了一元钱买了一把扇子。过了一晚上，老人觉得一元钱的扇子不好，于是回到 原来的商店把一元钱的扇子退回去，拿了一把二元钱扇子准备走，店员就叫住他，叫他补交一元钱。老人 于是争菏道：我昨天给了你一元钱，我今天又把一元钱的扇子交给你，不是刚好两元钱吗？这把店员弄糊 涂了，只好让老人把两元钱的扇子拿回去。结果老人如法炮制，每过一天老人就去商店买一把价钱比前 把贵一倍的扇子，而花的钱只有一元。？？ 问题：请应用统计推断方法分析这种“资产增值现象”？ 其他回答 老人说给过一块钱，加扇子相当于的另一块钱，于是拿走两块钱的扇子 如法炮制：给过一块钱，给过一块钱扇子，现给两块钱扇子，拿四块钱扇子， 以此类推一 资产增值的结论成立的前提是，老人给过的东西（包括钱和扇子）可以不断地重复使用，就等于最初那- 块钱用了N次变成N块钱，整个过程就如同是同一个等比数列，出现N次，每次比上一次多一项，如此 述方法（次多一项的等比数刚指述这种现象，解释就不会了。个人 从现实上说那是不对的，那一块钱不同于放在银行里的钱，不能这样增值的，简单来说不能重复使用，不 然世界就乱套了， 第五章统计量及其分布 例5.0.1某公司要采购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品，但该批产品总有 个不合格品率P。由此，若从该批产品中随机抽取一件，用x表示这一批产品的不合格 数，不难看出x服从一个二点分布(1，P,但分布中的参数P是不知道的。一些问题： (D的大小如何： （2)D大概落在什么范围内： (3)能否认为p满足设定要求（如p≤0.05） §5.1 总体与个体 总体的三层含义：研究对象的全体：数据：分布 例5.1.1考察某厂的产品质量，以0记合格品，以1记不合格品，则 总体={该厂生产的全部合格品与不合格品} ={由0或1组成的一堆数} 若以P表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该总体可由一个二点分布表示： 1
1 统计推断方法 案例解析！ 背景：有一个老人到商店花了一元钱买了一把扇子。过了一晚上，老人觉得一元钱的扇子不好，于是回到 原来的商店把一元钱的扇子退回去，拿了一把二元钱扇子准备走，店员就叫住他，叫他补交一元钱。老人 于是争辩道：我昨天给了你一元钱，我今天又把一元钱的扇子交给你，不是刚好两元钱吗？这把店员弄糊 涂了，只好让老人把两元钱的扇子拿回去。结果老人如法炮制，每过一天老人就去商店买一把价钱比前一 把贵一倍的扇子，而花的钱只有一元。? ? 问题：请应用统计推断方法分析这种“资产增值现象”? 其他回答 老人说给过一块钱，加扇子相当于的另一块钱，于是拿走两块钱的扇子 如法炮制：给过一块钱，给过一块钱扇子，现给两块钱扇子，拿四块钱扇子， 以此类推~~~~~ 资产增值的结论成立的前提是，老人给过的东西（包括钱和扇子）可以不断地重复使用，就等于最初那一 块钱用了 N 次变成 N 块钱，整个过程就如同是同一个等比数列，出现 N 次，每次比上一次多一项，如此 而已。 我就只能用上述方法（每次多一项的等比数列）描述这种现象，解释就不会了。个人认为确实从逻辑上说 从现实上说那是不对的，那一块钱不同于放在银行里的钱，不能这样增值的，简单来说不能重复使用，不 然世界就乱套了。 第五章 统计量及其分布 例 5.0.1 某公司要采购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随机抽取一件，用 x 表示这一批产品的不合格 数，不难看出 x 服从一个二点分布 b(1 , p)， 但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题： (1) p 的大小如何； (2) p 大概落在什么范围内； (3) 能否认为 p 满足设定要求（如 p 0.05）。 §5.1 总体与个体 总体的三层含义：研究对象的全体；数据；分布 例 5.1.1 考察某厂的产品质量，以 0 记合格品，以 1 记不合格品，则 总体 = {该厂生产的全部合格品与不合格品} = {由 0 或 1 组成的一堆数} 若以 p 表示这堆数中 1 的比例（不合格品率），则该总体可由一个二点分布表示：
0 P 1-p p 比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体分布： n 1 0.983 0.007 X 0 1 0.915 0.085 例5.12在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买日产SONY彩电的热情高于购买美 SONY彩电，原因何在？ 原因在于总体的差异上！ 1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报告指出N(m,(5/3)2,日产SONY彩 电的彩色浓度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓度服从(m5,m+5)上的均 匀分布。 >(一)画分布图： >表5.11各等级彩电的比例(%) 等级 1 333333333 L日产 683 271 43 0.3 5.1.2样本 样品、样本、样本量：样本具有两重性 一方面 由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样 本是随机变量，用大写字母X,X2,,Xn表示： ·另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值 此时用小写字母x礼，2，，x表示是恰当的。 ·简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般均用x1,2…m表示，应能从上 下文中加以区别。 例5.1.3啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640克。由于随机性，事实上不可能使得所 有的啤酒净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量，得到如 下结果： 641,635,640,637,642,638,645,643,639,640 这是一个容量为10的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量
2 X 0 1 P 1-p p 比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体分布： X 0 1 P 0.983 0.007 X 0 1 P 0.915 0.085 例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买日产 SONY 彩电的热情高于购买美 产 SONY 彩电，原因何在？ 原因在于总体的差异上！ ➢ 1979 年 4 月 17 日日本《朝日新闻》刊登调查报告指出 N(m, (5/3)2)，日产 SONY 彩 电的彩色浓度服从正态分布，而美产 SONY 彩电的彩色浓度服从(m−5 , m+5)上的均 匀分布。 ➢ （一）画分布图： ➢ 表 5.1.1 各等级彩电的比例(%) 等级 I II III IV 美产 33.3 33.3 33.3 0 日产 68.3 27.1 4.3 0.3 5.1.2 样本 样品、样本、样本量: 样本具有两重性 • 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样 本是随机变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示； • 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值。 此时用小写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。 • 简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般均用 x1, x2,… xn 表示，应能从上 下文中加以区别。 例 5.1.3 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为 640 克。由于随机性，事实上不可能使得所 有的啤酒净含量均为 640 克。现从某厂生产的啤酒中随机抽取 10 瓶测定其净含量，得到如 下结果： 641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640 这是一个容量为 10 的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量
这样的样本称为完全样本。 表5.1.2100只元件的寿命数据 寿命范围 元件数 寿命范围元件数 寿命范围 元件数 (024 119221616 3844081 (2448 (216240 (408 4327 (48721 (2402643 (432456 (72960 (26428815 14564801 (961201 28831215 4805041 (120144 312336 3 528 (144168] 5 (33636015 (5285521 (16819214 (36018411 >552 13 表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，这样的样本称为分组样本。 样本的要求：简单随机样本 要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很好地代表总体。通常有如下两个 求， >随机性：总体中每一个个体都有同等机会被选入样本一x与总体X有相 同的分布 >独立性：样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值…x1,x2,, n相互独立。 用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，也简称样本 于是，样本x1,x2,,xn可以看成是独立同分布(d)的随机变量，其共同分布 即为总体分布。 设总体X具有分布函数Fx,xl,x2,,xm为取自该总体的容量为n的样本，则 样本联合分布函数为 Fx,,x)=ΠF(x 总体分为有限总体与无限总体 实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是 一种合理的抽象。 对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难在于排除有意或无意的人为干扰 对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别是与样本量相比很大，则独立性也可基 得到满足。 3
3 这样的样本称为完全样本。 表 5.1.2 100 只元件的寿命数据 寿命范围 元件数 寿命范围 元件数 寿命范围 元件数 ( 0 24] 4 (192 216] 6 (384 408] 4 (24 48] 8 (216 240] 3 (408 432] 4 (48 72] 6 (240 264] 3 (432 456] 1 (72 96] 5 (264 288] 5 (456 480] 2 (96 120] 3 (288 312] 5 (480 504] 2 (120 144] 4 (312 336] 3 (504 528] 3 (144 168] 5 (336 360] 5 (528 552] 1 (168 192] 4 (360 184] 1 >552 13 表 5.1.2 中的样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，这样的样本称为分组样本。 样本的要求：简单随机样本 要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很好地代表总体。通常有如下两个 要求： ➢ 随机性: 总体中每一个个体都有同等机会被选入样本 -- xi 与总体 X 有相 同的分布 ➢ 独立性: 样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值 -- x1, x2, …, xn 相互独立。 用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，也简称样本。 于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是独立同分布( iid ) 的随机变量，其共同分布 即为总体分布。 设总体 X 具有分布函数 F(x), x1, x2, …, xn 为取自该总体的容量为 n 的样本，则 样本联合分布函数为 总体分为有限总体与无限总体 实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是 一种合理的抽象。 对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难在于排除有意或无意的人为干扰。 对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别是与样本量相比很大，则独立性也可基本 得到满足。 1 1 ( ,..., ) ( ). n n i i F x x F x = =
例5.1.5设有一批产品共N个，需要进行抽样检验以了解其不合格品率P。现从中采取不 放回抽样抽出2个产品，这时，第二次抽到不合格品的概率依赖于第一次抽到的 是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，则 P(2=1Ix1=I)=Np-1)/N-I) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为 P(x2=1|x1=0)=(Wp)/N-1) 显然 ,如此得到的样本不是简单随机样本。但是，当N很大时 我们可以看到上述两 种情形的概率都近似等于p。所以当N很大，而n不大（一个经验法则是n/N≤0.1）时 可以把该样本近似地看成简单随机样本。 思考：若总体的密度函数为风，则其样本的（联合）密度函数是什么？
4 例5.1.5 设有一批产品共 N 个，需要进行抽样检验以了解其不合格品率 p。现从中采取不 放回抽样抽出 2 个产品，这时，第二次抽到不合格品的概率依赖于第一次抽到的 是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，则 P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np−1)/(N−1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为 P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N−1) 显然，如此得到的样本不是简单随机样本。但是，当 N 很大时，我们可以看到上述两 种情形的概率都近似等于 p 。所以当 N 很大，而 n 不大（一个经验法则是 n N 0.1）时 可以把该样本近似地看成简单随机样本。 思考： 若总体的密度函数为 p(x)，则其样本的（联合）密度函数是什么？
§5.2样本数据的整理与显示 5.2.1经验分布函数 设xL,x2,,m是取自总体分布函数为Fx)的样本，若将样本观测值由小到大 进行排列，为x(1),x(2),,x),则称xI),2),,xm)为有序样本， 用有序样本定义如下函数 0, X <x) Fn(x)=k1n,xw,≤x<k4, k=1,2,n-1 xw)≤x 则Fx)是一非减右连续函数，且满足 Fmo-)=0和FMo+)=1 由此可见，Fx)是一个分布函数，并称Fx)为经验分布函数。 例5.2.1某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克） 351347355344351 这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本： x1)=344,2)=347,3351,x4)=354,5=355 其经验分布函数为 0 x<344 02. 344≤r<347 Fn(x)= 347≤x<351 0.8 344≤x<347 1, x2355 由伯努里大数定律：只要n相当大，Fx)依概率收敛于Fx)。 更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理 定理5.2.』（格里纹科定理）设xl,x2,m是取自总体分布函数为Fx)的样本，F)是其经 验分布函数，当n→0时，有 P{suplFn(x)-Fx→0=1 格里纹科定理表明：当n相当大时，经验分布函数是总体分布函数Fx)的一个良好的近似 经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据，其理由就在于此
5 §5.2 样本数据的整理与显示 5.2.1 经验分布函数 设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为 F(x)的样本，若将样本观测值由小到大 进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本， 用有序样本定义如下函数 则 Fn(x)是一非减右连续函数，且满足 Fn(−) = 0 和 Fn(+) = 1 由此可见，Fn(x)是一个分布函数，并称 Fn(x)为经验分布函数。 例 5.2.1 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取 5 听饮料，称得其净重（单位：克） 351 347 355 344 351 这是一个容量为 5 的样本，经排序可得有序样本： x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355 其经验分布函数为 0 ， x < 344 0.2， 344 x < 347 Fn(x) = 0.4， 347 x < 351 0.8， 344 x < 347 1， x 355 由伯努里大数定律：只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于 F(x) 。 更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理。 定理 5.2.1（格里纹科定理） 设 x1,x2,…,xn 是取自总体分布函数为 F(x)的样本, Fn(x) 是其经 验分布函数，当 n→时，有 PsupFn(x) − F(x)→0 = 1 格里纹科定理表明：当 n 相当大时，经验分布函数是总体分布函数 F(x)的一个良好的近似。 经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据，其理由就在于此。 (1) ( ) ( 1) ( ) 0, < ( ) / , , 1,2,..., 1 1, k k n n x x F x k n x x x k n x x + = = −
