§3.5 随机变量的数字特征、 契贝晓夫有等式 我们已经知道离散型随机变量专的数学期望为 5-日P(G=) 现在，自然要问连续型随机变量的数学期望是什么？我们就 来讨论这个问题。 设号是一个连续型随机变量，密度函数为p(x),取 分点： X0<X1<<X+1
§3.5 随机变量的数字特征、 契贝晓夫有等式
则随机变量落在△x=(X1,X:+1）中的概率为 p(x)d 当△x相当小时，就有zs P(5∈△x)p(比)x,i0,1,n 这时，分布列为 0 X1 Xn 【poa0 2(x1)△x1 p(n)△xn
的离散型随机变量可以看作是的一种近似，而这个离散型 随机变量的数学期望为 x 它近似地表达了连续型随机变量；的平均值。当分点愈密 时，这种近似也就愈好，由数学分析上述和式以积分 xp (x)dx 为极限，因而我们有下述定义
定义3.7设号是一个连续型随机变量，密度函数为 (x9,当 x p(x)dx< 时，称的数学期望存在，且 L gizs E5-”p(x)dk (3.61)
这里要求xp(x)h<0的理由与离散型时 要求引x:P(5=x)<0的理由是相同的.同离散型情 形一样，连续型随机变量的数学期望E是的可能取 值（关于概率）的平均。 例3.1？设在a,b]上均匀分布，求E引 解 由例3.1已知5的密度函数为
1 p(= ,a≤x≤b b-a 0,其他 故 =,x=房t3 b-a 2 2 这个结果是显然的。因为号在[a,b]上均匀分布，它取 值的平均值当然应该在[a,b]的中间，也就是a+b。 例3.18（略） 例3.19（略） 例3.20（略）
定理3.2若号是一个连续型随机变量，密度函数为 P(x),又f(x)是实变量x的函效，且 f(x川p()<0 则有 Ef⑤-nf(x)p(x) (3.65) 如果(c)满足定理3.1的条件，那么利用定理3.1即可 证明定理。对多维情形也有类似的定理，仍以二维为例，有
定理3.3设（传，）是二维连续型随机变量，密度函 数为c,y),又x,y)是二元函数，则随机变量 =f(5乡)的数学期望为 E=Ef(n=f(x.y)p(xy)dxdy (3.66) 这里，当然也要求上述积分为绝对收敛。 如同离散型随机变量，连续型随机变量的数学期望也 具有下述性质： (1)若，则存在a≤5b,且aE5b;
(2)对任一二维连续型随机变量(5，)，若存在E5、 E门，则对任意的实数k1、k2,E(化15+k2)存在且 E(k15+k2)=kE5+k2E门 (3.67) (3)又若5、门湘互独立，则Eη存在且 E(5)=E5·E门 (3.68)
这些性质的证明地与离散型场合相同只要把那里的和 号“卫”换成积分号“「”，并把分布列换成密度函数就可 了，我们把它留给读者作为一个练习。 接下来读者大概会想到应该讨论连续型随机变量的方 差了. 正是如此，在前一章中已经知道E(乡-E)2可衡量 随机变量离开它的均值E()的平均偏离程度，因而我们 理所当然地有下述定义