§3.6条件分布函数与条件期望、回归与第二类回归 在前一章中,对离散型随机变量(,n),我们曾经研 究了在已知(=y,)发生的条件下的分布问题,并称 P(=x=y)为条件分布开,类似的问题对连续型随机变 量也存在。 因为连续型随机变量取单点值的概率为零,所以用分 布函数P(x)=P(<x)来代替离散型时的分布列 P(=a,),在这里也同样以P(x=y)来代替离散型时
的P(5=x7=y:),并且称(5=x;7y:)为已知(门) 发生的条件下的条件分布函数,并记作F渺x)。z© 现在的问题是,如果已知(飞,)的联合分布函数(x, )或它的密度函数3),如何来条件分布函数F助(x): 由条件慨率的定义读者会想到应该有 P(ξ<x,7=y) P助xF5<7)F P(n=y) 但是,因为对连续型随机变量来说,代5<x,”=y)0
氏刀y)0,上述等式中的右端是”,也就是数学分布中的 0 “不定式”,这并没有解决问题。 在数学分析中已知少也是· 的不定式,为解决这个 dx 0 矛盾,先考虑有限增量时的比值 y, 然后再令△x→0,并 △x 定义gzs y=li山m △y dx 点x→0△x 由此得到启发,我们采取同样的思想途径定义 P an (xl)=P($<xln=y)
=limP(5<x|y≤7<y+Ay) F(x,y+△y)-F(x,y) lim (3.8 4→0F(+0,y+△y)-F(+∞,y) 因为(5,)是连续型随机变量,若其密度函数为(x,), 上式可以写成 P助x)尸P5<x7=y)
我们称P助x)为在已知发生的条件下二的条件概率密度。 完全类似地可以定义F州x及P州(yx,读者还可以 比较一下条件概率密度与离散型时的条件分布列: P(5=x17=,P(5=x,刀=y) p(7=y:) 它们之间是多么的相似! 例6.18(略)gz 条件分布函数F州(|x)或条件密度函做P州(y| x)描写了随机变量在已知(?=y)发生的条件下的统计规
律,同样离散型情形一样,还可以求在(”=y)发生的条件下 的数学期望,也就是条件数学期望,于是有下述定义。 定义5.1如果随机变量在已知(7=y)发生的条件 下的条件密度函做为P(yx,若 0xlp防x1y)k<n 则称E(传引刀=y)片xP((x|y)d<0|(3.0)