§6.5罗一勃拉克维尔定理和 一致最小方差无偏估计 在前两节中我们看到有效估计平均说来是此较接近参 数真值日的一个估计,但并不是每个参数都能有有效估计, 因为不是任何无偏估计都能达到罗一克拉美不等式下界,为 此我们必须研究这样两个问题,一个问题是如果知道一个无 偏估计,能否构造一个新的无偏估计,其方差比原来估计的 方差小,罗一勃拉克维尔定理给出了一种改善估计的方法: 另一个问题是一个无偏估计虽不是有效估计,但是可考察它 的方差在一切无偏估计类中能够达到最小的条件
§6.5 罗―勃拉克维尔定理和 一致最小方差无偏估计
定理6.5 (罗勃拉克维尔定理)设号与门是两个 随机变量,E门=l和D门>0。设=x条件下7的条件期望 E{川5=X)=(x)则z 可)]=L,D[)]sD7 (6.54) (证明略) 例6.22 设专与刀服从二维正态 机4,,σ,σ,P),这里4,5分别为它们的均值,分
E5)=(5-5]2 6-4) =Io2g =p2<p2=D门 当然这一只能起定理的直观解释作用,实际用处不大,因为 只要五个参数中有一个未知,(月就不能是一个统计量。它 包含这一未知参数,当然不能作为参数的估计。 罗一勃拉克维尔定理能有助于我们寻找未知参数的较 优良的估计,它可以引出如下定理
定理6.5设1,52, 5为取自一个母 体的子样。具有概率函数fc,),日∈⊙,设 门1=41(与1,专2,5m)是日的-个充分统计量, 门2=2(51,52,,5m)不仅是门1的函数,且 E门2=0,则E(门2|门1)=(71)是日的充分统计量的函 数,其均值[7)]和方差D☑)]D门2·(证明略)
这个定理给我们一个寻找较优良估计的方法。如果未知 参数日有一个充分统计量刀1,我们可以限制在充分统计量门1 的函数中去寻找。在门,的函数中先找出日的无偏估计,然后 此较其方差。也可以先从的一个无偏估计门2出发,注意 这个72不仅是几的函数,然后求出E(7271)。以E (门2|71)作估计量一定比原来的7,有较小的方差。 那么能否在无偏估计类的全体中找到一个达到最小方 差的无偏估计呢?先给出一个定义