§8.2 线性回归分析的数学模型 在实际问题中我们常会遇到多个变 量同处于一个过程之中，它们互相联系， 互相制约。一些变量它们不能用用一个 确定的函数关系式表达出来。这些变量 其实就是是随机变量，之间的关系我们 常称为相关关系。为深入本质，我们也 需要去寻找这些变量间的数量关系式。 回归分析就是进行统计的一种方法。在 这种关系中简单的线性回归
§8.2 线性回归分析的数学模型 在实际问题中我们常会遇到多个变 量同处于一个过程之中，它们互相联系， 互相制约。一些变量它们不能用用一个 确定的函数关系式表达出来。这些变量 其实就是是随机变量，之间的关系我们 常称为相关关系。为深入本质，我们也 需要去寻找这些变量间的数量关系式。 回归分析就是进行统计的一种方法。在 这种关系中简单的线性回归
例8.4维伦纤维德耐热水性能好坏用指标“缩醛化度”来衡量。这个指标越高，耐水 性就越好。而甲醛浓度时影响缩醛化度的一个重要因素。在生产中常用甲醛浓度x(克升) 不去控制着一指标。下面是试验获得的一组数据： 甲醛浓度x(克升) 18 20 22 24 26 28 30 缩醛化度y(可分子%) 26.8628.3528.7528.87 29.75 30 30.36 若我们去重复试验，在同一甲醛浓度x下，所得缩醛化度y不完全一致。这明x与 y之间不能用个完全确定的函做关系来表达。直角坐标图（见图8.1）图略 从图我们可以把试验结果y看成有两部分叠加而成的，以部分有x的线性函数引起， 记月+乌x,另一部分是由随即因素引起的，记：，即： y=6+乐+e (8.23) 我们把ε看成随即误差，假定它服从N(0,σ2)分布。这就意味着假定： N(+x,σ2) 老
y的数学期望是x的线性函数。 为获得，8的估计，我们要进行若干次独立 试验。设所得结果为 (,x）=1,2,…n 这里61，E2,…,E都是独立随即变量，均服从 N(0,σ2)分布，这就是一元线性回归模型。 一般讲，影响结果y的因数不止一个，设共p个 元素。要确定它们的关系是很困难的，常客根据经验 作出假设，其中最简单的加设是他们之间有线性关系：
y=+月x1++8x,+日 (8.24) 由(8.24)可知为=+1+ +xg+E,I=1,2,…,n (8.26) 其中诸1，E2,…Ew,相互独立，且服从N(0, σ2)，这就是P元线性回归模型。 一、参数估计 我们先讨论如何由(8.25)取估计(8.24)中
的参数，月及σ2的问题。 设兵，月，的估计分别为，月，…， 那么我们就可以的得到一个p元线性方程： y+月石1++月x) (8.27) 称(8.27)为p元线性回归方程。对(8.25)的每一个 样本点有(8.27)可求得相应的值： :=+月x知++月， (8.28) 称(8.28)所求的得y:为回归值
+∑1月+..+∑月，=∑： ∑x1A+∑x月+.+∑x1月=∑x ∑x风+∑x月++∑号=∑x (8.29) 称(8.29)为正规方程组，其解称为，月，…， 得最小二乘估计 (8.29)可用矩阵形式简洁的表示出来。令
1 x11 1 X- X21 X2 y2 8= 若记(8.29)的系数矩阵为A,常数项矩阵为B,「 则A 恰好为XX,B恰好为XX: 因而(8.29)用矩阵形式表示即为： XX8-XY (8.30) 称X为结构矩阵，它说明Y的数学期望结构.A=XX 为正规方程系数矩阵，B=X'Y为正规常数项矩阵。在
回归分析中通常A1存在，这时最小二乘估计6可表 示为： 8-(XX-XY (8.31) 为求σ2的估计，先引入几个名词。称实测值”：与回归 值y:得差为残差，称 y=Y-Y=Y-X8 (8.32) 为残差向量，而称
。=20%-y)2=y'y 为剩余平方和（或残差平方和），(8.33)中各式只是它 的不同表示方法。 定理8.2 E(Se）=(n-p-1)g2 (8.34) 证明（见书399） 定理8.3 B是3的线性无偏估计，其方差协方差 矩阵为 D(6)=(X)1σ2 (8.49)
由于(8.49)表示8的方差协反差矩阵为 (X)1乘以σ2，故也称(X)1为相关矩阵。 定理8.4 Cov(Y,8)=0 (8.50) 证明（见书409） 定理8.5当YW(X6,c21)时，6与S相互独立， 且a-N(8G(Xx.等-2ag其中g 为举证X的秩。 证明（见书410）