§3.4随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的 分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。 例如，若是（μ，2）分布的随机变量，为了解决 计算中的查表问题，在中曾经引入变换 这个新出现的随机变量7就是原来的随机变量的一 个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题， 先介绍一个便于应用的定理
定理3.1设号是一个连续型随机变量，其密度 函做为p(x),又广f(x)严格单调，其反函数(x)有 连续导数，则”=f()也是一个连续型随机变量，且 其密度函数为z 0=/ia0*1Aol&y<0 (3.51) 0,其他 其中 a=minf(-0o),f(+oo)}
8=minlf(-oo),f(+oo)] (证明略) 例3.11（略） 例3.12（略） 22分布 我们先给出下述一个式子：gzs 1 -x2,x>0 0,x≤0 我们通常把以上述(3.53)式（其中n是参数）为
密度函数的分布称为是自由度为·的X2一分布 (X2读作“卡方”)，并记作X2(2),它是数理统计中 一个重要的分布。s (一)和的分布 设(5，)是一个二维连续型随机变量，密度函数 为(x,y),现在来求=5+7的分布，按定义为 cy)=(5y=P(5+7y) 如果(E,)表示平面上点的坐标，则(E+?y)表示
如果(5，)表示平面上点的坐标，则（号+？y)表示 点落入号+7=y左边部分的概率（图略）。由(3.37) 式有gizsi 5)=p)ddx 为十 =C(心p%,3)ds)d (3.54) 如果与门是独立的，由(3.48)知子：(x)·Fry)
是(5,7)的密度函数，用子(x)·Fm(y)代替(3.54) 式中的这1x2)便得 ,)=P;P,名越)d =(心2sp,2-x)add =(p,6)p,亿-xdw边 由此可得的密度函效为jzsj
.(y)=(y)=p:(x)p,(y-x)dx (3.55) 由对称性还可得 sy=卫sy-x)P,6xc (3.56) 由(3.55)或(3.56)式给出的运算称为卷积，通常 简单地记作 子g子E*子功 例3.13（略）
我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一 些其它分布，也具有可加性，其中x2一分布的可加性 在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。 为此，可以讨论更一般形式的一个分布一工分布。如 果随机变量具有密度函数为zs xe4,x>0 0,x≤0 (3.57)
(其中x>0,6>0为两个常数)，这时称是参数为 (化，8)的T分布的随机变量，相应的分布称作参数 为〔，6)的T分布，并记作T(,B). 例3.14（略） (二)商的分布 设(，)是一个二维连续型随机变量，密度函数 为p(x1x2),现在来求5=三的分布，按照定义以
,gP(5y)=p( 若仍然（飞，）把看成平面上点的坐标，则P(三y)表 示点落入下图中阴影部分的概率。（图略）gzs 利用(3.56)式，有 ,G∬p(2d,k 1y X22 e∬p(1,x2)d2t 10
