第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1大数定理 *在本课程一开始引入概率这个概念时，我们 曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次 数n的增大，频率将会逐渐稳定到概率。还曾 经指出，当n很大时，频率会概率是会非常 “靠近”的，某些读者可能早就有了疑问： 这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竟 是什么意思？与数学分析中的极限概念有关 系吗？这个问题提得非常好，前面提到的 “逐渐稳定”和非常“靠近”都只是一种直 观的说法，它的严格的数学家意义确实需要 我们进一步阐明，本章就是要讨论这一类问 题
第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1 大数定理 在本课程一开始引入概率这个概念时，我们 曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次 数n的增大，频率将会逐渐稳定到概率。还曾 经指出，当n很大时，频率会概率是会非常 “靠近”的，某些读者可能早就有了疑问： 这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竟 是什么意思？与数学分析中的极限概念有关 系吗？这个问题提得非常好，前面提到的 “逐渐稳定”和非常“靠近”都只是一种直 观的说法，它的严格的数学家意义确实需要 我们进一步阐明，本章就是要讨论这一类问 题
若事件A在一次试验中发生的概率为p,如果观察了 次这样的试验（也就是一个n重贝努里试验），事件A共发 生了4次，则事件A在n次观察中的频率为/？，当n 增大时频率逐渐稳定到（或“靠近”）概率，是否就是数学分 析中的极限？也就是是否有 成立呢？如果是这样，为什么不说“频率以概率为极限”，岂 不干脆利落！但是读者应该觉察到，上述这种极限关系是不 成立的，因为这个极限关系意味着，对任给的8>0，存在 充分大的整数N,使对一切>N都有
(4.1) 成立。而我们知道，频率4/a是随着试验结果而变的，在 重贝努里试验中，下面的试验结果：gz A,A,…,A(1n个A出现) 还是可能发生的，当出现这样的结果时，从，于是 4/2=1,从而当很小时(0<E<1-p),不论H多大，也不 能得到当n时，都有
<8 成立，所以形如(4.1)极限关系并不成立。但是当n很大时 发生的可能性是很小的。例如上述的4， 发生的可能性为 P告=小R4 =P在11次独立试验中A出现山次)中
显然，当n→o时这个概率趋向于零。所以，频率“靠近” 概率不是意味着极限关系式(4.1)，而是意味着 哈小0a 其中是任一大于零的常数，这就是下面的贝努里定理。 风努里定理： 设4，是n重贝努里试验中事件A出 现的次数，又在每次试验中出现的概率为p(00，有 P怡-小小-1 (4.2)
频率“靠近”概率是可以直接观察到的一种客观现象，而上 述贝努里定理则从理论上给了这种现象以更加确切的含意。 由于贝努里定理说明了大数次重复试验下呈现的客观规律， 所以也称为贝努里大数定律。 贝努里大数定律的实质是是讨论了形如 5-∑E 2 的随机变量，当n→o时的统计规律，其中{}是独立的服 从同一个子0一一1分布的随机变量。由此得到启发，我们引 入下述更一般的大数定律的定义
定义41若1,52,5，…，5，…是随机变量序 列，如果存在常数列a1,32,使对任意的80，有 lim P (4.3) 成立，则称随机变量序列{}服从大数定律
切贝晓夫大教定律：设51,52,5，…，5，… 是一列两两不相关的随机变量，又设它们的方差有界，即存 在常数C>0,使有 D分≤C,1,2,… 则对任意的>0，有 (4.4) 例4.1设51,52,5，…是独立同分布随机变量序列，均 服从参数为的普哇松分布，在第2章中已经求得E=月
D=有(=1,2，…)，因而满足定理42（契贝晓夫大数定律） 即的条件，由(4.4)式知有 @P2- 可以看出贝努里大数定律是契贝晓夫大数定律的特例，在它 们的证明中，都是以契贝晓夫大数定律为基础的，所以要求 随机变量具有方差，从但是进一步的研究表明，方差存在这 个条件并不是必要的，下面我们介绍一下一个独立同分布的 辛钦大数定律
辛轼大数定律：设5,52，与，…是一列独立同分 布的随机变量，且数学期望存在：z E5, =1,2,… 则对任意的￡>0，有 24小小 (4.5) 成立