§3.4随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问圈，对一般的随机变量当然也 存在同样的问题。例如，若5是N(4,G2)分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 7=年a 这个新出现的随机变量门就是原来的随机变量5的一个函数。现在来讨论连续型随机变量 函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1设5是一个连续型随机变量，其密度函数为p(x),又=f(x)严格单调， 其反函数(x)有连续导数，则刀=f()也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 )=)a0 )2(2) 0,x≤0 我们通常把以上述(3.53)式（其中n是参数）为密度函数的分布称为是自由度为n的 x2一分布(x2读作“卡方"”)，并记作x2(),它是数理统计中一个重要的分布。 (一)和的分布 设(5，)是一个二维连续型随机变量，密度函数为(x,y),现在来求5=5+刀的分 布，按定义为 F:y)=P(5)=P5+ny) 如果(5，)表示平面上点的坐标，则P(5+7y)表示点落入：+7=y左边部分的概率（图 略)。由(3.37)式有
§3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也 存在同样的问题。例如，若 是 N（ 2 , ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 = − a 这个新出现的随机变量 就是原来的随机变量 的一个函数。现在来讨论连续型随机变量 函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理 3.1 设 是一个连续型随机变量，其密度函数为 p (x)，又 y= f (x) 严格单调， 其反函数 h(x) 有连续导数，则 = f ( ) 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 = 0,其他 [ ( ) | ( ) |], ( ) ' p h y h y y y （3.51） 其中 =min{ f (−) , f (+) } =min{ f (−) , f (+) } (证明 略) 例 3.11（略） 例 3.12（略） 2 —分布 我们先给出下述一个式子： p(x,y)= − 0, 0 , 0 ) 2 2 ( 1 2 2 x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中 n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为 n 的 2 —分布（ 2 读作“卡方”），并记作 ( ) 2 n ，它是数理统计中一个重要的分布。 （一）和的分布 设 (,) 是一个二维连续型随机变量，密度函数为 p(x,y)，现在来求 = + 的分 布，按定义为 F (y)= P( <y)= P( + <y) 如果 (,) 表示平面上点的坐标，则 P( + <y)表示点落入 + = y 左边部分的概率(图 略)。由（3.37）式有
F,=∬p,x)kd2 +0 「B (3.57 0,x≤0 (其中a>0,B>0为两个常数)，这时称5是参数为(a,B)的Γ分布的随机变量，相 应的分布称作参数为(4，B)的「分布，并记作Γ(a,B). 例3.14（略) 二)商的分布 设（低，）是一个维连续型随机变量，密度通数为p心，小现在米求5=号的分
F (y)= x +x y p x x dx dx 1 2 1 2 1 2 ( , ) = ( p(x , x )dx )dx 1 2 2 − − （3.54） 如果 与 是独立的，由（3.48）知 P (x)·P (y)是( , )的密度函数，用 P (x)·P (y) 代替（3.54）式中的 p(x 1 ,x 2 )便得 F (y) = ( p (x ) p (x )dx )dx 1 2 2 − − = p x p z x dz dx y ( ( ) ( ) ) 1 1 − − − = p x p z x dx dz y ( ( ) ( ) ) 1 1 − − − 由此可得 的密度函数为 F (y)= F ' (y)= p x p y x dx − ( ) ( − ) （3.55） 由对称性还可得 F (y)= p y x p x dx − ( − ) ( ) （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P =P * P 例 3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中 2 — 分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般 形式的一个分布— 分布。如果随机变量 具有密度函数为 p(x,y)= − − 0, 0 , 0 ( ) 1 x x e x x （3.57） （其中 >0, >0 为两个常数），这时称 是参数为（ , ）的 分布的随机变量，相 应的分布称作参数为（ , ）的 分布，并记作 ( , ). 例 3.14（略） （二）商的分布 设 (,) 是一个二维连续型随机变量，密度函数为 p(x 1 ,x 2 )，现在来求 = 的分
布，按照定义 F:()=P(5)=P(三y 若仍然（仁）把看度手面上点的坐标，则P于)表示点落入下图中阴影福分的概率。《图 略) 利用(3.56)式，有 只，6J∬px,x)d,k, J∬p(x,x)dx dx2.∫px,x)ddk, 高，0 px d(dd 于是的密度函数为 P:(y)=F:(y)=x2 p(x2y.x2 2 -[x2p(xzy,x2 =Ixlp(y.x)dx (3.58) 例3.16（略） F一分布我们先给出下述一个式子： r" P:(y)= (3.59) r号r3 我们通常把以上述(3.59)式（其中m,n是参数）为密度函数的分布称为是参数为m, n的P一分布，并记作P风。，它也是数理统计中最常用的分布之一 引理3.1若随机变量5与7相互独立，又f(x)、g(x)是两个连续或逐段连续的函数， 则f(x)与g()相互独立。 这个引理的结论在直觉上可以说是显然的。因为二与门的取值既然是独立的，也就是 互相没有牵连，那么它们的函数f(x)、g(x)的取值也是没有牵连的，这就是说它们是独立 的
布，按照定义 F (y)= P( <y)= P( <y) 若仍然 (,) 把看成平面上点的坐标，则 P( <y)表示点落入下图中阴影部分的概率。（图 略） 利用（3.56）式，有 F (y)= y x x p x x dx dx 2 2 1 1 2 1 2 ( , ) = ; 0 1 2 1 2 2 2 2 1 ( , ) y x x x p x x dx dx + ; 0 1 2 1 2 2 2 2 1 ( , ) y x x x p x x dx dx = 2 0 1 2 1 ( ( , ) ) 2 p x x dx dx x y − + 2 0 1 2 1 ( ( , ) ) 2 p x x dx dx − x y 于是 的密度函数为 P (y)=F ' (y)= 2 0 2 2 2 x p(x y, x )dx – 2 0 2 2 2 x p(x y, x )dx − = − | x | p(yx, x)dx （3.58） 例 3.16（略） F—分布 我们先给出下述一个式子： P (y)= 2 1 2 2 2 ( ) ) 2 ) ( 2 ( ) 2 ( m n n n m ny m y n m n m m n + − + + （3.59） 我们通常把以上述（3.59）式(其中 m，n 是参数)为密度函数的分布称为是参数为 m， n 的 F—分布，并记作 F(n，m)，它也是数理统计中最常用的分布之一。 引理 3.1 若随机变量 与 相互独立,又 f (x) 、g(x) 是两个连续或逐段连续的函数， 则 f (x) 与 g() 相互独立。 这个引理的结论在直觉上可以说是显然的。因为 与 的取值既然是独立的，也就是 互相没有牵连，那么它们的函数 f (x) 、g(x) 的取值也是没有牵连的，这就是说它们是独立 的
t一分布我们先给出下述一个式子： P:)= n (3.60) 2π(5 我们通常把以上述(3.60)式（其中n是参数）为密度函数的分布称为是自由度为n的 一分布它也是数理统计中 人分有面最时，我正用的站作一颜西机安量的统计规作卖用分布函服 Fx)PA5<x),以代替离散场合用的分布列P(5-a),在引入独立性的定义时，也作这 样的替代，这时就有下面的定义。 定义3.5设二维随机变量(5,7)的联合分布函数为Fxy,又5与1的分布函数为 F:(x)、Fny),若对任意的(xy)有 Fxy)=Fx)·Fny (3.47) 成立，则称随机变量5与)是相互独立的。 如果(5，刀)是二维连续型随机变量，则5与门也都是连续型随机变量，它们的密度函 数分别为P:(x)及Pny。这时容易验证5与】独立的充要条件为 P;(x)Pny)是(5，n)的密度函数 (3.48】 现在来验证这一结论。如果已知P:(x)·Py)是(5，)的密度函数，就有 Fxy=广广P:(0）*p,(v)dudv =Po)*P,mw=FxFs图F,) 故(3.47)式成立：反之，若己知(3.47)式成立，则 F(xy)=F:(x)Fy)=P:(u)du*p(vyv =[[pe(u)*p,(vdudy 对任意的(xy)成立，因而P:x)·P,y)是(5,7)的密度函数(3.48)式成立。 由此可知，要判断连续型随机变量5与是否独立？只要验证P:(x)·P,y)是否是 (5,7)的密度函数就可以了。一般说来，这是比较容易的。 例3.10若二维随机变量5，n)服从Ma,a,o,o,0)分布，问5与1是否独
t—分布 我们先给出下述一个式子： P (y)= 2 2 1 (1 ) ) 2 2 ( ) 2 1 ( + − + + n n y n n （3.60） 我们通常把以上述（3.60）式(其中 n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为 n 的 t—分布它也是数理统计中常用的分布之一。 入分布函数时，我们已经知道描述一般随机变量的统计规律需要用分布函数 F(x)=P( x )，以代替离散场合用的分布列 P( = a )，在引入独立性的定义时，也作这 样的替代，这时就有下面的定义。 定义 3.5 设二维随机变量( , )的联合分布函数为 F(x,y)，又 与 的分布函数为 F (x)、F (y)，若对任意的(x,y)有 F(x,y)= F (x)·F (y) （3.47） 成立，则称随机变量 与 是相互独立的。 如果( , )是二维连续型随机变量，则 与 也都是连续型随机变量，它们的密度函 数分别为 P (x)及 P (y)。这时容易验证 与 独立的充要条件为 P (x)·P (y)是( , )的密度函数 （3.48） 现在来验证这一结论。如果已知 P (x)·P (y)是( , )的密度函数，就有 F(x,y)= p u p v dudv x y − − ( )* ( ) = p u du p v dv x y − − ( ) ( ) = F(x,y)= F (x)·F (y) 故（3.47）式成立；反之，若已知（3.47）式成立，则 F(x,y)= F (x)·F (y)= p u du p v dv x y − − ( ) ( ) = p u p v dudv x y − − ( )* ( ) 对任意的(x,y)成立，因而 P (x)·P (y)是( , )的密度函数（3.48）式成立。 由此可知，要判断连续型随机变量 与 是否独立？只要验证 P (x)·P (y)是否是 ( , )的密度函数就可以了。一般说来，这是比较容易的。 例 3.10 若二维随机变量( , )服从 N( 1 a , 1 a , 2 1 , 2 2 ,0)分布，问 与 是否独
立？ 解这(5，)时有密度函数 1 pl,川-2x0 e 由例3.8可知 1 P:F2πO 1 P:(x)202 e 显然这时P:(x)·P,y=px)成立，所以5与刀相互独立。反之，若5与刀独立，则必 有p0。所以对二维正态随机变量(a,a,o2,c,0)来说，p=0是它们相互独立的充 要条件。 这一节我们从一般的维随机变量的定义出发，而后对二维随机变量作了较多的讨论， 这主要是为了叙述和学习方便的缘故。其实，把对二维的讨论推广到■维，并没有什么实 质性的困难。例如，对维随机变量的独立性，就有下述定义。 定义3.6设n维随机变量(51,52，…，5n)的联合分布函数为F(X1,X2,…, Xn),其边际分布为F1(F2,F5n》如果对任意的(X,X2…, Xn),有 F(X1,X2,,Xn)=F51·F52x2Fnxa）(3.49) 成立，则称51,52，，5n是▣个相互独立的随机变量 如果(51,52，…，5，)是连续型随机变量，相应的边际密度函数为P51(代1 P5五《2)…，Pnx,),则的等价形式为 P1(x1)P2(,人…Pn(x)是(51,52，…，5n)的密度函数。 (3.50
立？ 解 这 (,) 时有密度函数 p(x, y) = ] ( ) ( ) [ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x a y a e − + − − 由例 3.8 可知 P (x)= 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 x a e − − P (x)= 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 y a e − − 显然这时 P (x)·P (y)= p(x,y)成立，所以 与 相互独立。反之，若 与 独立，则必 有 =0。所以对二维正态随机变量 N( 1 a , 1 a , 2 1 , 2 2 ,0)来说， =0 是它们相互独立的充 要条件。 这一节我们从一般的 n 维随机变量的定义出发，而后对二维随机变量作了较多的讨论， 这主要是为了叙述和学习方便的缘故。其实，把对二维的讨论推广到 n 维，并没有什么实 质性的困难。例如，对 n 维随机变量的独立性，就有下述定义。 定义 3.6 设 n 维随机变量( 1 ， 2 ，…， n )的联合分布函数为 F（x 1 ，x 2 ，… ， x n ），其边际分布为 F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),…, F n (x n )，如果对任意的（x 1 ，x 2 ，… ， x n ），有 F（x 1 ，x 2 ，… ，x n ）= F 1 (x 1 )·F 2 (x 2 ),…, F n (x n ) （3.49） 成立，则称 1 ， 2 ，…， n 是 n 个相互独立的随机变量。 如果( 1 ， 2 ，…， n )是连续型随机变量，相应的边际密度函数为 p 1 (x 1 ), p 2 (x 2 ),…, p n (x n )，则的等价形式为 p 1 (x 1 )·p 2 (x 2 ),…,p n (x n )是( 1 ， 2 ，…， n )的密度函数。 （3.50）
