S1.7贝努里概型 现在用事件的独立性来研究一类问题. 如果我们一次抛掷枚相同的硬币，要求"恰好出现k个正面“这一事件的概率 P。(k).这样一个”一次抛掷n枚相同硬币"的随机试验，可以用另一种等价的方式来 进行：每次抛掷一枚硬币，共抛掷次，容易理解，这n次抛掷的结果是相互独立的，因 而如果把相同条件下抛掷一枚硬币看作是一次试验，就意味着这·次试验是相互独立 的。这里所谓”试验是相互独立的”，意思就是说试验的结果是相互独立的. 一般地说，如果试验E只有两个E只有两个可能结果：A及A,并且P(A)=PP( P(A)=l-p=q(其中0<p<1),把E独立地重复n次的试验构成了一个试验，这个试验称作 n重贝努里试验或贝努里概型，并记作E”.由此可知，上述”一次抛掷n枚相同硬币“的试验就 可以看作是一个n重贝努里试哈 个贝努里试验的结果可以记作 0=01,02..0。) 其中的a,1≤i≤)或者为A或者为A,因而这样的o共有2”个，它们的全体就是这 个贝努里试验的样木空间0，对于o=(o1,02…0)e0,如果“，(1≤i≤)中有k个A,则 必有k个为A,于是由独立性即得 P()=pg- 比如n=5,oA,A,AA,A),则 P(o=p·q·pq·qFp2·q 如果要求“重贝努里试验中事件A出现k次”这一事件的概率，那也是很容易的.为此记 B。=血重贝努里试验中事件A出现k次) 有概率的有限可加性得 PB)=∑P(O) 对于o∈Bg,己知P(u)=p*g-,而B:中这样的u共有pg-*,0≤k≤n 回到本节开始提出的问思，如果硬币是均匀的，则P=1/2,于是”抛掷枚相同的硬币，恰好出 现k个正面的概率为 P.= 这就解答了问题
§1.7 贝努里概型 现在用事件的独立性来研究一类问题. 如果我们一次抛掷 n 枚相同的硬币，要求＂恰好出现 k 个正面＂这一事件的概率 Ｐ n （k）.这样一个＂一次抛掷 n 枚相同硬币＂的随机试验，可以用另一种等价的方式来 进行：每次抛掷一枚硬币，共抛掷 n 次，容易理解，这 n 次抛掷的结果是相互独立的，因 而如果把相同条件下抛掷一枚硬币看作是一次试验，就意味着这 n 次试验是相互独立 的．这里所谓＂试验是相互独立的＂，意思就是说试验的结果是相互独立的． 一般地说，如果试验Ｅ只有两个Ｅ只有两个可能结果：Ａ及Ａ，并且Ｐ（Ａ）＝P,P( P（ A ）=1-p=q(其中 0<p<1)，把 E 独立地重复 n 次的试验构成了一个试验，这个试验称作 n 重贝努里试验或贝努里概型，并记作 E n .由此可知,上述”一次抛掷 n 枚相同硬币”的试验就 可以看作是一个 n 重贝努里试验. 一个贝努里试验的结果可以记作: ω=(ω 1 ω2 ωn , ) 其中的ω i (1≤i≤n)或者为 A 或者为 A ,因而这样的ω共有 2 n 个,它们的全体就是这 个贝努里试验的样本空间Ω,对于ω=(ω 1 ω2 ωn , )∈Ω,如果ω i (1≤i≤n)中有 k 个 A,则 必有 n-k 个为 A ,于是由独立性即得 P(ω)=P k n k q − 比如 n=5, ω=(A, A , A, A , A ),则 P(ω)=p·q·p·q·q=p 2 ·q 3 如果要求“n 重贝努里试验中事件 A 出现 k 次”这一事件的概率，那也是很容易的.为此记 B k ={n 重贝努里试验中事件 A 出现 k 次} 有概率的有限可加性得 P(B k )= ω∈Bk P(ω) 对于ω∈B k ,已知 P(ω)= P k n k q − ,而 B k 中这样的ω共有 n k n k k p q − ,0≤k≤n 回到本节开始提出的问题,如果硬币是均匀的,则 P=1/2,于是”抛掷 n 枚相同的硬币,恰好出 现 k 个正面的概率为 P n n n k k ) 2 1 ( ) = ( 这就解答了问题
例1.24金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦.已知每 台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应 紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率为 多大？ 解50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而10台机床中同时开动的台数不超过5 台时都可以正常工作.而每台机床只有“开动”与“不开动”两种情况，且开动的概率为 60一亏“不开动“的概率为，设10台机床中正在开动者的机床台数为5则 11 p(s=)-[9以专，0≤k≤10 于是同时开动若的机床台数不超过5台的概率为 p(3≤)=2p5=k 0 =2以**0.994 由此可见这10台机床能正常工作的概率为0.994，也就是说这10台机床的工作基本上不受 电力供应紧张的影响.因为在电力供应10 瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为 0.006,相当于在一个工作班的8小时（即480分钟）内，不能正常工作的时间只有480×0.006 ≈2.88（分钟），还不到3分钟， 例1.25某大学的校乒兵球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强， 当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6，现在校、系双 方商量对抗赛的方式，提了三种方案 (1)双方各出3人，比三局： (2)双方各出5人，比五局： (③)双方各出7人，比七局， 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有得？ 解设系队得胜人数为5，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为 0p(5≥2-204r0.6=0352 2P(5≥3)=[0.4)(0.6)≈0.317 (a)p(5≥40-204)(0.64e0290 由此可知第一种方案对系队最为有利（当然，对校对来说最为不利）.这在直觉上是容易理解 的，因为参加比赛的人数愈少，系队侥幸获胜的可能性也就愈大如果双方只出一个比赛，则 系队胜利的概就是0,4这不是很明显的事情吗！ 例1.26某人有一串Ⅲ把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门.有一天该人酒醉 后回家，下意识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在每k次才把门打开的概率多 大
例 1.24 金工车间有 10 台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为 10 千瓦,已知每 台机床工作时,平均每小时实际开动 12 分钟,且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应 紧张,供电部门只提供 50 千瓦的电力给这 10 台机床,问这 10 台机床能够正常工作的概率为 多大? 解 50 千瓦电力可同时供给 5 台机床开动,因而 10 台机床中同时开动的台数不超过 5 台时都可以正常工作.而每台机床只有“开动”与“不开动”两种情况,且开动的概率为 5 1 60 12 = ,“不开动”的概率为 5 4 ,设 10 台机床中正在开动着的机床台数为ξ则 P(ξ=k)= k k k 10 10− ) 5 4 ) ( 5 1 ( ,0≤k≤10 于是同时开动着的机床台数不超过 5 台的概率为 P(ξ≤5)= = = 5 0 (ξ k) k p = ) 0.994 5 4 ) ( 5 1 ( 10 5 0 − = k k k n k 由此可见这 10 台机床能正常工作的概率为 0.994,也就是说这 10 台机床的工作基本上不受 电力供应紧张的影响.因为在电力供应 10 千瓦的条件下,机床不能正常工作的概率仅为 0.006,相当于在一个工作班的 8 小时(即 480 分钟)内,不能正常工作的时间只有 480×0.006 ≈2.88(分钟),还不到 3 分钟. 例 1.25 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强, 当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时,校队运动员获胜的概率为 0.6.现在校﹑系双 方商量对抗赛的方式,提了三种方案: (1)双方各出 3 人,比三局; (2)双方各出 5 人,比五局; (3)双方各出 7 人,比七局, 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问:对系队来说,哪一种方案有得? 解 设系队得胜人数为ξ,则在上述三种方案中,系队胜利的概率为 (1)P(ξ≥2)= (0.4) (0.6) 0.352 3 3 2 3 − = k k k k (2)P(ξ≥3)= (0.4) (0.6) 0.317 5 5 3 5 − = k k k k (3)P(ξ≥4)= (0.4) (0.6) 0.290 7 7 4 7 − = k k k k 由此可知第一种方案对系队最为有利(当然,对校对来说最为不利).这在直觉上是容易理解 的,因为参加比赛的人数愈少,系队侥幸获胜的可能性也就愈大.如果双方只出一个比赛,则 系队胜利的概率就是 0.4,这不是很明显的事情吗! 例 1.26 某人有一串 m 把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.有一天该人酒醉 后回家,下意识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开门,问该人在每k次才把门打开的概率多 大?
解因为该人每次从m把外形相同的钥匙中任取一把（试用后不做记号又放回），所以能 打开家门的一把钥匙在每次试用中愉被选中的概率为1/m,易知这是一个贝努里试验.在第k 次才把门打开，意味着前面的k-1次都没有打开，于是由独立性即得 p(第k次才把门打开)=1-马1-马)1 mm k-1个 m m 贝努里概型是概率论中研究得最多的一种数学模型，尽管它比较简单，却也概括了许 多实际问题，因而很有实用价值.由贝努里概型可以解决许多有意义的问题，值得一提的是， 由贝努里概型可以解决一类“随机游动”的问题，这是一类富有启发性和广泛性应用的问题， 读者可以在[1]、[3]中找到一些基本的介绍
解 因为该人每次从 m 把外形相同的钥匙中任取一把(试用后不做记号又放回),所以能 打开家门的一把钥匙在每次试用中愉被选中的概率为 1/m,易知这是一个贝努里试验.在第 k 次才把门打开,意味着前面的 k-1 次都没有打开,于是由独立性即得 P（第 k 次才把门打开）= 1个 1 ) 1 ) (1 1 (1 − − − • k m m m = 1 ) 1 (1 1 − • − k m m 贝努里概型是概率论中研究得最多的一种数学模型,尽管它比较简单,却也概括了许 多实际问题,因而很有实用价值.由贝努里概型可以解决许多有意义的问题,值得一提的是, 由贝努里概型可以解决一类“随机游动”的问题,这是一类富有启发性和广泛性应用的问题, 读者可以在[1] ﹑[3]中找到一些基本的介绍