§1.4概率的公理化定义及概率的性质 一个随机试验，如果他的数学模型时古典概型，那么描述这个试验的样本空间、事件域∫和 PE在 3种得 了解决 在古典范围 试验的结果是有限的， 当试验结果为无限时，会 出现一些本质性困难，使问题不能像有限时那么容易解决。这里讨论具有一某种“等可能性 的一类问题。 如果我们在一个面积为S。的区域2中，等可能的取值（图1.6）设区域2中任意一区域A, 如果它的面积为S4,则点落入A的可能性大小与S,成正比。记“点落在小区域A”这个随机 事件任然记作A,则由P(2)=1可得 P (A)=S Sa 这一类概率通常称作几何概率。 例1.11（会面问题）甲、乙两人约定在6点到7点之间在某地会面，并约定先到者要等1 另一人一小时才能离去。求两人能会面的概率」 解以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人回面的充要条件是 Ix-yl15 ◆X 在平面上建立直角坐标系图1.7。则(x,y)的所有可能结果是边长60的正方形，而会面 可能时间是图中的阴影部分。 由等可能性质知： P(A)=S4-602-4527 Sa 60216 例1.12浦丰投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0),在平 面任意投掷一枚长1(1<a）的 试求针与平行线相交的概率。 解以x表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角，知
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质 一个随机试验，如果他的数学模型时古典概型，那么描述这个试验的样本空间 、事件域ƒ和 概率 P 已在§3 种得到了解决。在古典范围内试验的结果是有限的。当试验结果为无限时，会 出现一些本质性困难，使问题不能像有限时那么容易解决。这里讨论具有一某种“ 等可能性” 的一类问题。 如果我们在一个面积为 S 的区域 中，等可能的取值（图 1.6）设区域 中任意一区域 A， 如果它的面积为 A S ，则点落入 A 的可能性大小与 A S 成正比。记“点落在小区域 A”这个随机 事件任然记作 A，则由 P（ ）=1 可得 P（A）= S S A A 这一类概率通常称作几何概率。 例 1.11 （会面问题）甲、乙两人约定在 6 点到 7 点之间在某地会面，并约定先到者要等 1 另一人一小时才能离去。求两人能会面的概率。 解 以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人回面的充要条件是 |x-y|≦15 X 在平面上建立直角坐标系图 1.7。则（x，y）的所有可能结果是边长 60 的正方形，而会面 可能时间是图中的阴影部分。 由等可能性质知： P（A）= S S A = 2 2 2 60 60 − 45 = 16 7 例 1.12 浦丰投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为 a（a>0），在平 面任意投掷一枚长 l(l<a )的针，试求针与平行线相交的概率。 解 以 x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以 表示针与此直线间的交角，知
0≤x≤4 0≤p≤元 由这两式可以确定x一口平面上的一个矩形？，这时为了针与平行线相交，其充分条件是： 由这个不等式表示的区域A是图中的阴影部分。由等可能性知 P()-S fsa Sa 2 π0 图路（见书P24) 现在，我们比较仔细地来考察这一类投点问题。为了方便起见，设Q是一个单位正方 形（图1,9），A是样本空间2的一个子集。由等可能性知道 P(A)= 这里S,是A的面积。容易验证这样的概率P的确具有非负性、规范性和有限可加性，看来 问题是轻而易举的解决了。但是，切莫高兴得太早，还有一个非常基本的问题没有解决。从过 去的讨论已经知道，概率P是在事件域∫上有定义的集合函数，它的非负性、规范性和有限可 加性也只有在∫上才有意义。现在我们不免要问，在上述投点试验中，事件域∫究竟是什么？ 在古典概型中，已经关 道 可以是2 的一切子集的全体，很自然地会认为在投点试验中 「也 可以是Ω的一切子集的全体。這憾的是，这样的“推广”是行不通的。由于等可能性，以知对 于2的子集A有P(A)=S4,这里S,是A的面积，因而A不能是2的任意子集，至少应该是 中“具有面积”的一类子集。说到这里，读者一定会觉得奇怪，难道在单位正方形2中还有 “不且右面积” 的子 美吗？一点都不假，人们 已经 正明了这种“不具有面积”的子集确实存在 这种集合称作不可测集。对这一个问题的进一步讨论已经超出本书的范围 这里我们要求读者 接受2中“不具有面积”的子集确实存在这一事实，现在回到我们所关心的问题上来。由前面 的讨论我们知道在投点试验中，事件域了不能是2的一切子集的全体，而只能是2的一切“具 有面积”的子集的全体。容易验证，这样的事件域是一个布尔代数，对于AE∫，P(A)=S4。 也很容易验证，这样的概率P的确是∫上非负的、规范的、有限可加的集合函数。于是2，了， P三者描述了这个投点试验。 由上述投点试验可以看到，只要构造适当的随机试验，面积就成了概率，这就告诉我们面 积具有的性质，概率也应该具有非负性和有限可加性，这再一次说明了概率应该具有非负性和 有限可加性，除此之外，还有什么值得我们注意呢？ 如果在单位正方形中有一列两两互不相交的小区域A,A,…,每个小区域的面积是 S,S2,…,很自然的我们可以间：这些小区域总面积是多少？按照前面的记号，这些小区域 的并可以记作
0≤x≤ 2 a 0≤ ≤ 由这两式可以确定 x- 平面上的一个矩形 ，这时为了针与平行线相交，其充分条件是： x≤ a l sin 2 由这个不等式表示的区域 A 是图中的阴影部分。由等可能性知 P（A）= S S A = 2 · sin 0 2 a d l = a l 2 图略（见书 P24） 现在，我们比较仔细地来考察这一类投点问题。为了方便起见，设 是一个单位正方 形（图 1.9），A 是样本空间 的一个子集。由等可能性知道 P（A）= 这里 A S 是 A 的面积。容易验证这样的概率 P 的确具有非负性、规范性和有限可加性，看来 问题是轻而易举的解决了。但是，切莫高兴得太早，还有一个非常基本的问题没有解决。从过 去的讨论已经知道，概率 P 是在事件域∫上有定义的集合函数，它的非负性、规范性和有限可 加性也只有在∫上才有意义。现在我们不免要问，在上述投点试验中，事件域∫究竟是什么？ 在古典概型中，已经知道∫可以是 的一切子集的全体，很自然地会认为在投点试验中，∫也 可以是 的一切子集的全体。遗憾的是，这样的“推广”是行不通的。由于等可能性，以知对 于 的子集 A 有 P（A）= A S ，这里 A S 是 A 的面积，因而 A 不能是 的任意子集，至少应该是 中“具有面积”的一类子集。说到这里，读者一定会觉得奇怪，难道在单位正方形 中还有 “不具有面积”的子集吗？一点都不假，人们已经证明了这种“不具有面积”的子集确实存在， 这种集合称作不可测集。对这一个问题的进一步讨论已经超出本书的范围，这里我们要求读者 接受 中“不具有面积”的子集确实存在这一事实，现在回到我们所关心的问题上来。由前面 的讨论我们知道在投点试验中，事件域∫不能是 的一切子集的全体，而只能是 的一切“具 有面积”的子集的全体。容易验证，这样的事件域∫是一个布尔代数，对于 A ∫，P（A）= A S 。 也很容易验证，这样的概率 P 的确是∫上非负的、规范的、有限可加的集合函数。于是 ，∫， P 三者描述了这个投点试验。 由上述投点试验可以看到，只要构造适当的随机试验，面积就成了概率，这就告诉我们面 积具有的性质，概率也应该具有非负性和有限可加性，这再一次说明了概率应该具有非负性和 有限可加性，除此之外,还有什么值得我们注意呢? 如果在单位正方形中有一列两两互不相交的小区域 , , A1 A2 …，每个小区域的面积是 1 2 S ,S ，…，很自然的我们可以问：这些小区域总面积是多少？ 按照前面的记号，这些小区域 的并可以记作
总的面积 S4 ∑s i= 把面积了解为概率，上式： P(A)= S 在§2中已经知道概率P的事件域f上有有限可加性。由(2)： P()-ZSA i=1 可知，概率不仅应该具有有限可加，还应具有可列可加性（也称完全可加性）。下面上其具 有的性质： P(AUB)≤P(A)+P(B) 公理 (I)非负性：P(A)≥0，对A∈f,就 (Ⅱ)规范性：P(2=1,对A∈f, (Ⅲ)可列可加性：若A∈f,i=1,2…,且A,A,=☑(i≠j),则 p04)-s -1 则称为事件A的概率。 A i= 定理1.1若P是f上非负的、规范的集函数。则p具有可列可加的充要条件是 (1)P是有限可加的： (2)(2)P在f上是下连续的
A = i=1 Ai 总的面积 A S = i=1 Ai S 把面积了解为概率,上式: P（A）= i=1 Ai S 在§2 中已经知道概率 P 的事件域 f 上有有限可加性。由（2）： P（A）= i=1 Ai S 可知，概率不仅应该具有有限可加，还应具有可列可加性（也称完全可加性）。下面上其具 有的性质： 公理 （Ⅰ）非负性：P(A)≥0,对 A f,就 （Ⅱ）规范性：P( =1,对 A f , （Ⅲ）可列可加性： 若 Ai f,i=1,2…，且 Ai Aj = （i j）,则 P（ i=1 Ai ）= i=1 Ai S 则称为事件 A 的概率. i=1 Ai 。 定理 1.1 若 P 是 f 上非负的、规范的集函数。则 p 具有可列可加的充要条件是 (1) P 是有限可加的； (2) （2）P 在 f 上是下连续的。 P(A B) P(A) + P(B)