§2.6条件分布与条件数学期望 我们已经知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同时研究两 个随机变量，就需要它们的联合分布列.设二维随机变量为(5，刀)，其可能的取值为 (a,b,)1,j=1,2…在例2.7中，为了计算联合分布列，曾得用条件概率的公式也就是： P(==b)=P(=a,In=b)P(n=b,) 其中p(5=a,|n=b,)是表示n=b,的条件下，5=a,的概率，常常记作P当固定j而变动 i时，可以得到一列P,i=1,2,…,容易验证有 (0)Pu20,i=1,2, ②2Pmw=l 这说明{Pw,i=l,2,}具有分布列的两个性质事实上，{Pu,i=l,2,}确是一个分布 列，它描写了在刀=b,的条件下，随机变量：的统计规律当然，一般说来这个分布列与5原来 的分布列P,不同，称为条件分布列如果(E,)的联合分布列为P,为已知，则边际分布列为 p,=∑Pa 由此即可求得条件分布列 (2.32) P.i 由对称性还有 (2.33) 反过来如果已知PU,P,也可求得联合分布列Pg=PuP,(仁PmP） 在§2.2中曾经讨论了随机变量的独立性，显然，当5与n是相互独立的随机变量时，有 Pu=P.) 成立 既然P是一个分布列，当然也可以对这个分布列求数学期望，如果：可能取值为 a,=1,2,),我们引入下述定义
§ 2.6 条件分布与条件数学期望 我们已经知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律,如果要同时研究两 个随机变量, 就需要它们的联合分布列. 设二维随机变量为( , ), 其可能的取值为 (ai ,bj ),i, j = 1,2 在例 2.7 中,为了计算联合分布列,曾得用条件概率的公式,也就是: ( , ) ( | ) ( ) P = ai = bj = P = ai = bj P = bj 其中 ( | ) p = ai = bj 是表示 = bj 的条件下, = ai 的概率,常常记作 i j p | 当固定 j 而变动 i 时,可以得到一列 , 1,2, , pi| j i = 容易验证有 (1) 0, 1,2, ; pi| j i = (2) = = 1 | 1. i pi j 这说明 { , 1,2, ;} pi| j i = 具有分布列的两个性质.事实上, { , 1,2, ;} pi| j i = 确是一个分布 列,它描写了在 = bj 的条件下,随机变量 的统计规律.当然,一般说来这个分布列与 原来 的分布列 i p 不同,称为条件分布列.如果( , )的联合分布列为 i j p | 为已知,则边际分布列为 = = i 0 p j pij 由此即可求得条件分布列 j ij i j p p p | = (2.32) 由对称性还有 = i ij j i p p p | (2.33) 反过来,如果已知 i j p | , j p 也可求得联合分布列 ( ) pij = pi| j p j = p j|i pi 在§2.2 中曾经讨论了随机变量的独立性,显然,当 与 是相互独立的随机变量时,有 pi| j = pi p j|i = p j , 成立. 既然 i j p | 是一个分布列, 当然也可以对这个分布列求数学期望, 如果 可能取值为 a (i =1,2, ) i ,我们引入下述定义
定义2.7若随机变量5在n=b,条件下的条件分布列为P,又 Elalpu1=12 这时 6引n=对-艺r 豆品
定义 2.7 若随机变量 在 = j b 条件下的条件分布列为 i j p | ,又 =1 | | | i ai pi j , 则称 =1 | i ai pi j 为 在 = j b 条件下的数学期望,简称为条件期望,并记作 { | } E = bj 例 2.19 某射击手进行射击,每次射击击中目标的概率为P(0<P<1),射击进行到击中目标 两次时停止.令 表示每一次击中目标时的射击次数, 表示每二次击中目标时的射击次数, 试求联合分布列 ij p ,条件分布列 pi| j p j|i , 及数学期望 E{ | = j} 解 据题意知 p p( i, j) ij = = = = p 2 q i−2 ,1 i j = 2,3, 其中 q=1-p,又 = + − = + = = 1 2 2 1 j i j j i pi pij p q , 1,2, 1 1 2 1 = = − = − − pq i q p q i i − = − − = = = 1 1 2 2 1 1 j i j j i p j pij p q ( j −1) p 2 q j−2 , j = 2,3 于是条件分布列为 ,1 2,3 1 1 ( 1) 2 2 2 2 | = − = − = = − − i j j p q j p q p p p j j j i j i j 1 1 , , 1,2 2 2 | = = = = − − − − pq j i i pq p q p p p j i i j i ij j i 这时 − = = = 1 1 | { | } n i i n E n ip 1 2 1 1 1 n n i n i = − = − =
在这个例子中，条件期望E5引7=的意义都很直观的。如果已知第二次击中发生在第n 次射击，那么第一次击中可能发生在第1，n-1次，并且发生在第次的概率都是 n-1 1 因为P,n一，也就是说已知刀=m的条件下，专取值为1，-1是等可能的，从而它 的均值为。 条件期望具有与普通数学期望相类似的性质，例如有 (I)若as5≤b则E{5引n=b,}存在，具有a≤E{5引n=b,}≤b,特别，当C是常数 时，E5引n=b,}=C. (2)若k,k2是两个常数，又E5In=b,},E51刀=b,}存在，则 E{k5+k521n=b,} =kE{5,In=b,}+k,E{52|n=b,} (2.34) 这是在周定刀=b,的条件下考察条件期望性质，由条件期望的定义可知，当给定5时，对于 n的每一个可能的取值b,0=1,2)就有一个确定的实数E{5引7=b,}与之对应.因而 E{5引n=b,}是n单值函数，当n=b,时，这个函数的值就等于E{引n=b,},记这个函数为 E{5引}由§不得2.4的定理2.2可知 E(Im)=>EIn=b,ip(n=b,) 6w=61-2u-20骨 把它代入前面的式子中，即可得到 a851m2,-空2n -∑ap.=E时 2.35) 由此可见，随机变量5对n求条件期望后再求期望，等于对这个随机变量直接求期望这是 条件期望的一个重要的基本性质
在这个例子中，条件期望 E{ | = n} 的意义都很直观的。如果已知第二次击中发生在第 n 次射击，那么第一次击中可能发生在第 1, ,n −1 次，并且发生在第 i 次的概率都是 1 1 n − ， 因为 1 1 | − = n pi n ，也就是说已知 = n 的条件下， 取值为 1, ,n −1 是等可能的，从而它 的均值为 2 n . 条件期望具有与普通数学期望相类似的性质,例如有 (1) 若 a b 则 { | } E = bj 存在,具有 a≤ { | } E = bj ≤b;特别,当 C 是常数 时, { | } E = bj =C; (2) 若 1 2 k ,k 是两个常数 , 又 { | } E 1 = bj , { | } E 2 = bj 存 在 , 则 { | } 1 1 2 2 bj E k + k = { | } { | } 1 1 j 2E 2 bj = k E = b + k = (2.34) 这是在固定 = bj 的条件下考察条件期望性质,由条件期望的定义可知,当给定 时,对于 的每一个可能的取值 b ( j = 1,2) j 就有一个确定的实数 { | } E = bj 与之对应.因而 { | } E = bj 是 单值函数,当 = bj 时,这个函数的值就等于 { | } E = bj ,记这个函数为 E{ |} 由§不得 2.4 的定理 2.2 可知 = = = = 1 ({ | }) { | } ( ) j E E bj p bj 而 = = = = = 1 1 | { | } i i j ij j i i j i p p E b a p a 把它代入前面的式子中,即可得到 = = = = = = 1 1 1 1 ( { | }) j ij i j i j i j ij i p a p p p E E a a p E i = i i = = 1 (2.35) 由此可见,随机变量 对 求条件期望后再求期望,等于对这个随机变量直接求期望.这是 条件期望的一个重要的基本性质
