§3.3多维随机变量及其分布 前面讨论了一维连续型随机变量，如同第二章中所讨论的多维离散型随机变量一样，还可 以讨论多维连续型随机变量，这里，我们仍从一般的多维随机变量定义出发 定义3.3设5(a),5(),…5.()是定义在同一样本空间2上的随机变量，则n维向量 (5(o,5,(o,…5n(o)称为是样本空间2上的n维随机变量或n维随机向量.并称n元函 数 F(x,x2…,x) =p5(@)<x,…,5n(回) 是n维随机变量（气(o⊙），点2(o,…5(@)的联合分布函数也简称为联合分布或分布.联合分 布函数描述函数描述了多维随机变量的统计规律， 我们将者重讨论二维随机变量如果二维随机变量如果(5，)表示笛卡儿平面上点的坐 标，那么 F(x,y)=p(<x,n<y) 就表示点(5，)落入任一矩形伍≤5<x,片≤7<}中的概率可由概率的加法性质 求得 px≤5<x2,≤n<2) Fx22)-Fx,乃2)-F(x2)+Fx,) (325) 如同一维分布函数，还可以证明二维分布函数F(x,y)具有下述性质 ()对x或y都是单调不减的 (2)对x或y都是左连续的，即有： F(x,y)=F(x-0,y) (3.26
§ 3.3 多维随机变量及其分布 前面讨论了一维连续型随机变量,如同第二章中所讨论的多维离散型随机变量一样,还可 以讨论多维连续型随机变量,这里,我们仍从一般的多维随机变量定义出发 定义 3.3 设 ( ), ( ), ( ) 1 2 n 是定义在同一样本空间 上的随机变量,则 n 维向量 ( ( ), ( ), ( ) 1 2 n )称为是样本空间 上的 n 维随机变量或 n 维随机向量.并称 n 元函 数 ( , , ) 1 2 n F x x x ( ( ) , , ( ) = p 1 x1 n 是 n 维随机变量( ( ), ( ), ( ) 1 2 n )的联合分布函数,也简称为联合分布或分布.联合分 布函数描述函数描述了多维随机变量的统计规律. 我们将着重讨论二维随机变量.如果二维随机变量.如果( ,) 表示笛卡儿平面上点的坐 标,那么 F(x, y) = p( x, y) 就表示点( ,) 落入任一矩形 { , } 1 2 1 2 x x y y 中的概率可由概率的加法性质 求得: ( , ) 1 2 1 2 p x x y x ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 F x y − F x y − F x y + F x y (3.25) 如同一维分布函数,还可以证明二维分布函数 F(x, y) 具有下述性质: (1) 对 x 或 y 都是单调不减的; (2) 对 x 或 y 都是左连续的,即有: F(x, y) = F(x − 0, y) (3.26)
F(x.y)=F(x.y-0) (3.27) (3)对任意的x和y,有 F(-0.y)=lim F(x,y)=0 (328) F(x,-0)=lim F(x,y)=0 并且还有 F()=lim F(.)=1 (3.29) y+t网 (④)对任意的(，)和(x2,2)(其中x<x2,乃<乃2)，有 F(2)-F(x,y2)-F(x2,)+F(x,)≥0 (3.30) 满足这四个条件的二元函数通常就称为二元联合分布函数 如果二维随机变量(5，)的联合分布函数F(x,)为已知，那么它的两个分量5与的分 布函数取可由F(x,y)求得，因为有 F(x)=p5<x)=p5<x,n<o) =F(x,co) (3.31) 其中F(x,o)-limF)同理还有 F,(y)=F(c.y) (3.32) 其中F(o,y)=limF(x,)如同离散型情形，人们也称F:(x)F,)是联合分布F(x,) 的边际分布函数，或称为边际分布 类似于一维时的情形，下面将者重讨论二维的连续型随机变量，这就是下述的定义
F(x, y) = F(x, y − 0) (3.27) (3) 对任意的 x 和 y,有 − = = − = = →− →− ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 lim lim F x F x y F y F x y y x (3.28) 并且还有 ( , ) ( , ) 1 + + = lim = →+ →+ F F x y y x (3.29) (4) 对任意的 ( , ) ( , ) 1 1 2 2 x y 和 x y (其中 , ) 1 2 1 2 x x y y ,有 F(x2 , y2 ) − F(x1 , y2 ) − F(x2 , y1 ) + F(x1 , y1 ) 0 (3.30) 满足这四个条件的二元函数通常就称为二元联合分布函数.. 如果二维随机变量( ,) 的联合分布函数 F(x, y) 为已知,那么它的两个分量 与 的分 布函数取可由 F(x, y) 求得,因为有 ( ) = ( ) = ( , ) F x p x p x = F(x,) (3.31) 其中 F(x,) = ( , ) limF x y y→ 同理还有 F ( y) = F(, y) (3.32) 其中 F(, y) = ( , ) limF x y x→ 如同离散型情形,人们也称 F (x), F ( y) 是联合分布 F(x, y) 的边际分布函数,或称为边际分布. 类似于一维时的情形,下面将着重讨论二维的连续型随机变量,这就是下述的定义
定义3.4如果F(x,y)是一个联合分布函数若存在函数p(x,y)使得任意的x,y),有 F(x.y)=["[p(u.v)dud (3.33) 成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的(x,)是F(x,y)的联合概 率密度函数或简称为密度 如果二维随机变量（三，）的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(5，)是二维 的连续型随机变量 由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质 ()px,y)≥0 (2)p(x,y)dxdy=F(+0+0)=1 (3.35) 反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数(x,y),必定可以作为某个二维随机变量的 密度函数此外，密度函数还具有性质 ()若p(x,y)在点(x,y)连续，F(x,y)是相应的分布函数则有 aFx,》=px,川 (3.36) axoy (2)若G是平面上的某一区域则 p(5,)eG}=∬p,y)d (3.37) 例如，若 G={《x,y):x≤x<x2,≤y<} 这时就有 P(x≤5<x2,≤n<)=P(5,)∈G
定义 3.4 如果 F(x, y) 是一个联合分布函数,若存在函数 p(x, y) 使得任意的(x,y),有 − − = x y F(x, y) p(u,v)dudv (3.33) 成立,则称 F(x, y) 是一个连续型的联合分布函数,并且称其中的 p(x, y) 是 F(x, y) 的联合概 率密度函数或简称为密度. 如果二维随机变量( ,) 的联合分布函数 F(x, y) 是连续型分布函数,就称( ,) 是二维 的连续型随机变量. 由分布函数的性质可知,任一二元密度函数 p(x, y) 必具有下述性质: (1) p(x, y) 0; (2) − p(x, y)dxdy = F(+,+) =1 (3.35) 反过来,任意一个具有上述两个性质的二元函数 p(x, y),必定可以作为某个二维随机变量的 密度函数.此外,密度函数还具有性质: (1) 若 p(x, y) 在点 (x, y) 连续, F(x, y) 是相应的分布函数,则有 ( , ) ( , ) 2 p x y x y F x y = (3.36) (2) 若 G 是平面上的某一区域,则 p G p x y dxdy G {( , ) } ( , ) = (3.37) 例如,若 {( , ): , } 1 2 1 2 G = x y x x x y y y 这时就有 ( , ) {( , ) } P x1 x2 y1 y2 = P G
=广pxd px.yddy (3.38) 这是与(3.35)式一至的，由此还容易求得边际分布为 F.(x)=p(<x)=p(<xn<) =Fx,o)=广pu,w)dudy -[p(u.dv yiu (3.39) 从而可知F,(x)是一个连续型分布函数相应的密度为 p,()=F(x)=广px,)h (3.40 同理可知F,(y)也是连续型分布函数其密度函数为 p,(y)=[p(u.v)du (3.41) 因为F:(x,F,y)是边际分布函数所以F:(x),F,)也称为边际分布密度 例3.6（略）见P122 例3.7设二维随机变量(5，)具有密度函数 pxn=Cenn0<x<to0<y<+n 0 其它 试求(1)常数C (2)分布函数F(x,y): ()边际分布函数F,(x,F,)及相应的边际密度
= x y G p x y dxdy ( , ) ( , ) = 1 1 2 1 ( , ) x x y y p x y dxdy (3.38) 这是与(3.35)式一至的,由此还容易求得边际分布为 ( ) = ( ) = ( , ) F x p x p x − − = = x F(x, ) p(u,v)dudv p u v dv du x − − = ( , ) (3.39) 从而可知 F (x) 是一个连续型分布函数,相应的密度为 − p (x) = F (x) = p(x,v)dv ' (3.40) 同理可知 F ( y) 也是连续型分布函数,其密度函数为 − p (y) = p(u,v)du (3.41) 因为 F (x), F ( y) 是边际分布函数,所以 F (x), F ( y) 也称为边际分布密度. 例 3.6 (略)见 P122 例 3.7 设二维随机变量 (,) 具有密度函数 其它 + + = − + Ce x y p x y x y ,0 ,0 0, ( , ) 2( ) 试求 (1) 常数 C (2)分布函数 F(x, y) ; (1) 边际分布函数 F (x), F ( y) 及相应的边际密度;
解1=广pxh=cead =cese=c} C-4 (2)F(xy) =f∫pu,v)dudv 。0是 0 其它 B)F,(x)=广p4,)dhdh -rfeai.s0 0 x≤0 从而有 a&0 于是边际密度为 nF. 同理可得 1-e2r,y>0 F,0={0.y0 2e2,y>0 p-F()=0.yso
解 (1) − + − − = = 0 0 2( ) 1 p(x, y)dxdy Ce dxdy x y 2 1 2 1 0 2 0 2 = = − − C e dx e dy C x y 故 C=4 (2) F(x, y) − − = x y p(u,v)dudv + + = − + 0, 其它 4 , 0 ,0 0 0 2( ) e dudv x y x y u v (3) − − = x F (x) p(u,v)dudv = − + 0 0 4 , 0 0 0 2( ) x e dudv x x u v 从而有 − = − 0, 0 1 , 0 ( ) 2 x e x F x x 于是边际密度为 = = − 0, 0 2 , 0 ( ) ( ) 2 ' x e x p x F x x 同理可得 − = − 0, 0 1 , 0 ( ) 2 y e y F y y = = − 0, 0 2 , 0 ( ) 2 ' y e y p F y y