上饶师范学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第七章 线性变换

第七章线性变换 第一节线性映射 教学目的： 1.准确地运用线性映射的定义等价命题判断给定的法则是否是一个线性映 对。 2.正确理解线性映射的象与核的概念及相互间的联系，并能求出它们的基 和维数。 教学内 1.定义和例子： 设F是一个数域，V和W是F上向量空间。 定义1设。是V到W的一个映射，如果下列条件被满足，就称σ是V到W的 一个线性映射： (1) 对于任意5，ne',o(传+)o()+o(): (2)对于任意a∈F,5∈V,a(a5)=ao5) 例1对于R的每一向量5=(k,x)定义 o(G)=(x1,x1-x2,x1+x2)eR 是R2到R3的一个映射，我们证明， σ是一个线性映射。 例2令H是V,中经过原点的一个平面.对于V,的每一向量5，令σ)表示 向量￡在平面H上的正射影.根据射影的性质，o:5→()是V,到V,的一个线 性映射。 例3令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间Fm的每一向量 X2: 5=x3 (x. 规定 σE)=A5 )是一个m×1矩阵，即是空间F"的一个向量，σ是F"到F的一个线性映 例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量5，令W的零向量0 与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射。 例5令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数K,对于任意 5eV,定义 a()=ks 容易验证，σ是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一 个位似。 特别，取k=1,那么对于每一5eV,都有σ()=5，这时σ就是V到V的恒 等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0,那么σ就是V到V的零映

第七章 线 性 变 换 第一节 线 性 映 射 教学目的: 1．准确地运用线性映射的定义等价命题判断给定的法则是否是一个线性映 射。 2．正确理解线性映射的象与核的概念及相互间的联系，并能求出它们的基 和维数。 教学内容: 1. 定义和例子： 设 F 是一个数域，V 和 W 是 F 上向量空间。 定义 1 设  是 V 到 W 的一个映射，如果下列条件被满足，就称  是 V 到 W 的 一个线性映射： （1） 对于任意  ， V, ( +)=( )+() ； （2） 对于任意 a F, V,(a) = a(). 例1 对于 R 2 的每一向量 ( ) 1 2  = x , x 定义 () = (x1 , x1 − x2 , x1 + x2 ) R 3  是 R 2 到 R 3 的一个映射，我们证明，  是一个线性映射。 例2 令 H 是 V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一向量  ,令 ( ) 表示 向量  在平面 H 上的正射影.根据射影的性质, : ( ) 是 V 3 到 V 3 的一个线 性映射. 例3 令 A 是数域 F 上一个 mn 矩阵,对于 n 元列空间 F m 的每一向量                 = n x x x x   3 2 1  , 规定 () =  ( ) 是一个 m1 矩阵,即是空间 F m 的一个向量, 是 F n 到 F m 的一个线性映 射. 例4 令 V 和 W 是数域 F 上向量空间.对于 V 的每一向量 , 令 W 的零向量 0 与它对应，容易看出这是 V 到 W 的一个线性映射，叫做零映射。 例5 令 V 是数域 F 上一个向量空间，取定 F 的一个数 K，对于任意  V, 定义 ( ) = k 容易验证，  是 V 到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做 V 的一 个位似。 特别，取 k =1 ，那么对于每一  V, 都有 ( ) = , 这时  就是 V 到 V 的恒 等映射，或者叫做 V 的单位映射，如果取 k = 0 ，那么  就是 V 到 V 的零映 射

例6取定F的一个n元数列a4…a)。对于下"的每一向量 5=(6x2…x),规定 ()=ax+a22++ann∈F 容易验证，σ是下“到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个 元线性函数或F·上一个线性型。 例7对于F[的每一多项式x),令它的导数f"(x)与它对应，根据导数 的基本性质，这样定义的映射是F[到自身的一个线性映射。 例8令C[4,)是定义在[4，上一切连续实函数所成的R上向量空间，对 于每一f)∈C[a,b,规定 o(f(x))=[f(odt σ(x)》仍是a,b上一个连续实函数，根据积分的基本性质，o是C[a,b到 自身的一个线性映射。 2线性映射的基本性质。 首先，定义1里的条件(i),(ii)与以下的条件等价： (iii)对于任意a,beF和任意，ne o(a6+b7)=ao(E)+bo(7) 事实上，如果映射o:V→W满足条件()和()，那么对于任意a,b∈F 和任意5，neV, o(aE+bu)=o(as)+o(bn)=ao(s)+bo(n). 反过来，假设(iii)成立，取a=b=1,就得到条件句：取b=0,就得 到条件（位）。在条件()里，取a=0，就得到 σ0】=0 (1) 换句话说，线性映射将零向量应成零向量 由(m)，对n作数学归纳法，容易推出 (a,5+…+an5n)=a,o(5)+…+a2o(52) (2) 对于任意a,…,an∈F和任意5，…，5n∈V成立。 设是向量空间V到N的一个线性映射。如果V'cV,那么 a(s)EV 是W的一个子集，叫做V在o之下的象，记作σ)）。另一方面 设W'cW。那么 EeVo(E目)eW'} 是V的一个子集，叫做W在σ之下的原象。我们有 定理7.1.1 设V和W是数域F上向量空间，而。：V→W是一个线 性映射，那么V的任意子空间在。之下的象是W的一个子空间。而W的任 意子空间在。之下的原象是V 的 入子空间。 证设V'是V的一个子空间。如果，万是σV)的任意向量，那么总 有5，n∈V' 5=o(5),7=o( 因为o是线性映射，所以对于任意a,beF

例6 取定 F 的一个 n 元数列 ( ) a1 a2  an 。对于 F n 的每一向量 ( ) n x x  x  = 1 2 ，规定 ( ) = a1 x1 + a2 x2 ++ an xn  F 容易验证，  是 F n 到 F 的一个线性映射，这个线性映射也叫做 F 上一个 n 元线性函数或 F n 上一个线性型。 例7 对于 F x 的每一多项式 f (x) ，令它的导数 f (x) 与它对应，根据导数 的基本性质，这样定义的映射是 Fx 到自身的一个线性映射。 例8 令 C a,b 是定义在 a,b 上一切连续实函数所成的 R 上向量空间，对 于每一 f (x)Ca,b ，规定 (f (x)) f (t)dt x a  = (f (x)) 仍是 a,b 上一个连续实函数，根据积分的基本性质，  是 C a,b 到 自身的一个线性映射。 2 线性映射的基本性质. 首先,定义 1 里的条件(i),(ii)与以下的条件等价: (iii) 对于任意 a,b  F 和任意  , V  (a + b) = a ( ) + b () 事实上，如果映射  :V →W 满足条件 (i) 和 (ii) ，那么对于任意 a,b  F 和任意  , V,，  (a + b) =  (a ) + (b) = a ( ) + b (). 反过来，假设（iii）成立，取 a = b =1 ，就得到条件 (i) ；取 b = 0 ，就得 到条件 (ii) 。在条件 (ii) 里，取 a = 0 ，就得到 (0) = 0 (1) 换句话说，线性映射将零向量应成零向量。 由 (iii) ，对 n 作数学归纳法，容易推出 ( ) ( ) ( )  a1 1 ++ an n = a1  1 ++ a2  2 (2) 对于任意 a1 ,  ,an  F 和任意  1 ,  , n V 成立。 设  是向量空间 V 到 W 的一个线性映射。如果 V V ，那么 ( ) V  是 W 的一个子集，叫做 V 在  之下的象，记作 (V) 。另一方面， 设 W W 。那么  V ()W  是 V 的一个子集，叫做 W  在  之下的原象。我们有 定理 7.1.1 设 V 和 W 是数域 F 上向量空间，而  :V →W 是一个线 性映射，那么 V 的任意子空间在  之下的象是 W 的一个子空间。而 W 的任 意子空间在  之下的原象是 V 的一个子空间。 证 设 V 是 V 的一个子空间。如果  , 是 (V) 的任意向量，那么总 有  , V  使  = ( ), = (). 因为  是线性映射，所以对于任意 a,b  F,

ag+bn=ac(g)+ba(n) =a(as+bn) 但V是V的子空间，所以aE+bney',因而 ag+bnea(v), 这就证明了W:是黑.的一个子空间。现在设W'是W的一个子空 间。令v是w在。之下的原象。显然0Ev5,7∈v 那么 σ()，σ()∈p。因为σ是线性映射而w'是子空间，所以对于任意 a,bEF, o(ag+bn)=ac(s)+bo(n)ew 即a+bn∈y 这就证明了y是v的一个子空间。 特别，向量空间y在。之下的象是W的一个子空间，叫做。的 象，记做Im(o) 。即 Im(a)=a(V). 另一方面，w的零子空间{和}在之下的原象是v的一个子空 间，叫做o的核，记做Ker(o),即 Ker(o)={5e1σ(5)=0.}. 定理7.1.2 设V和W是数域F上向量空间，而σ：V→W 是一个线性映射，那 (1)o是满射一mσ)=W (2)o是单射一Ke(o)={) 订证 论断()是显然的。我们只证论断(ii) 如果。 、是单射，那么Ker(o)只能含有唯一的零向量。反过来设 Ker(o)={。如果57y 而(5)=( o(5-)=c(5)-c()=0。从而5-n∈Krc)={}。所以5=n,。即 。是单射。 现在设U,V和W都是数域F上向量空间。 T,→V,V→ 是线性映射，考虑合成映射 万0T·11 我们证明，p=oor是U到W的一个线形映射。 令p-ooT。那么对于任意的品，bEF和5，n∈U pa5+bnl=o(ra5+bnj》=oaxE)+bxn》 =ao(r(5》+bo(rnl ad()+bo(n) 这就证明了0三万。x是一个线形映射。 如果U,V,,X都是F上，而 t:0→，o:V→W,p:W→X 是线形映射。那么由上面的证明可知，(poo)x和po(oot)都是U到X的 线形映射，并且 (3) (og)ot=po(got)

a + b = a( )+ b() =(a + b) 但 V 是 V 的子空间，所以 a + b V  ，因而 a + b (V), 这就证明了 W  是 W. 的一个子空间。现在设 w ' 是 w 的一个子空 间。令 ' v 是 ' w 在  之下的原象。显然 0 '  v ' , v ，那么 ' (),() w 。因为  是线性映射而 ' w 是子空间，所以对于任意 a,b  F, 。 ' , (a + b) = a() + b() w 即 ' a + b v 。 这就证明了 ' v 是 v 的一个子空间。 特别，向量空间 v 在  之下的象是 w 的一个子空间，叫做  的 象，记做 Im(  ) 。即 Im ( ) =  (V ). 另一方面， w 的零子空间 0 在  之下的原象是 v 的一个子空 间，叫做  的核，记做 Ker ( ) ,即 Ker () =   V () = 0. . 定理 7.1.2 设 V 和 W 是数域 F 上向量空间，而  :;V →W 是一个线性映射，那么 (1) 是满射 Im() =W (2) 是单射 Ker() = 0 证 论断(i) 是显然的。我们只证论断 (ii) 。 如果  是单射，那么 Ker （） 只能含有唯一的零向量。反过来设 Ker （）= 0 。如果 ， v 而  ( ) =  () 。那么  ( −) =  ( ) − () = 0 。从而  −Ker() = 0 。所以  = , 。即  是单射。 现在设 U,V 和 W 都是数域 F 上向量空间。  :; u → v,v → w 是线性映射，考虑合成映射   :u →w. 我们证明，  =   是 U 到 W 的一个线形映射。 令  =   。那么对于任意的 a,b  F 和 , U , (a +b) =((a +b)) =(a()+b()) = a(())+ b(()) = a()+ b(). 这就证明了  =   是一个线形映射。 如果 U，V，W，X 都是 F 上，而  :U →V, :V →W,  :W → X 是线形映射。那么由上面的证明可知, ( ) 和  (  ) 都是 U 到 X 的 线形映射，并且 （3） ( ) =  (  )

如果线形映射σ：V→W有逆映射。，那么。是W到V的一个线形映 事实上，如果有逆映射。，那么对于任意a,beF和 5,neW,ao()+bo()∈V.由于o是V到W的线形映射，所以 alaa-(s)+ba-(n))=aa(a-())+bala-(n) =ag+bn 两端同时施行σ，就得到 a-'(as+bn)=ao-'()+bo-'(n) 即σ1：W→V也是线形映射。 布置作业：P320.1.2.3.4. 第二节 线性变换的运算 教学目的： 1.准确理解线性变换的定义 2.掌握线性变换的定义 教学内容： 令ⅴ是数域F上一个向量空间。ⅴ到自身到一个线性映叫做的一个线性变 换。 我们用L(W)表示向量空间V的一切线性变换所成的集合。 设o,teL(W).对于中每一向量：。令o(⑤)+r()与它对应。这样得到到V 自身的一个映射，叫做。与x的和，记作。+ o+t:5→σ(5)+(5)： V的线性变换σ与x的和。+r也是V的一个线性变换。事实上，令 p=o+。那么对于任意a,beF和任意5，neV o(as+bn)=a(ag+bn)+r(ag+bn) =ao(5)+bo(n)+ar()+br(n) =a(o(5)+t(5)+b(o()+() =ao()+bo(n). 所以σ+是V的一个线性变换。 线性变换的加法满足交换律和结合律。容易证明，对于任意P,,t∈LW 以下等式成立： (1) σ+T=T+G (2) （P+o)+t=p+(o+t) 令O表示V到自身的零映射，称为V的零变换，它显然具有以下性质：对 于任意o∈L(V)都 (3) 0+0=0 设σ∈L(W),o的负变换-σ指的是V到V的映射 -6:E→-G( 容易证明，-σ也是V的线性变换，并且. (4) 6+(-o)-0 我们定义V的线性变换σ与π的差

如果线形映射  :V →W 有逆映射 −1  ，那么 −1  是 W 到 V 的一个线形映 射。 事实上，如果  有逆映射 −1  ，那么对于任意 a,b  F 和  , W , a ( )+ b ( )V − −     1 1 .由于  是 V 到 W 的线形映射，所以 (  ( )  ()) ( ( )) ( ()) −1 −1 −1 −1 a + b = a + b = a + b 两端同时施行 −1  ，就得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1        − − − a + b = a + b 即 W →V − : 1  也是线形映射。 布置作业:P320.1.2.3.4. 第二节 线 性 变 换 的 运 算 教学目的: 1．准确理解线性变换的定义 2．掌握线性变换的定义 教学内容: 令 v 是数域 F 上一个向量空间。v 到自身到一个线性映叫做的一个线性变 换。 我们用 L(V)表示向量空间 V 的一切线性变换所成的集合。 设，  L(V).对于中每一向量  。令  ( ) + ( ) 与它对应。这样得到到 V 自身的一个映射，叫做  与  的和，记作  +.  + :    ( ) + ( ) . V 的线性变换  与  的和  + 也是 V 的一个线性变换。事实上，令  = + 。那么对于任意 a,b  F 和任意  , V , (a + b) =  (a + b) +  (a + b) = a ( ) + b () + a ( ) + b () = a( ( ) + ( )) + b ( () + ()) = a( ) + b(). 所以  +是V 的一个线性变换。 线性变换的加法满足交换律和结合律。容易证明，对于任意 ,,  L(V), 以下等式成立： （1）  + = +; （2） （  + ) + =  + ( + ). 令  表示 V 到自身的零映射，称为 V 的零变换，它显然具有以下性质：对 于任意   L(V ) 都 (3)  + =. 设  L(V),的负变换− 指的是 V 到 V 的映射 − :  − ( ). 容易证明，− 也是 V 的线性变换，并且. (4)  + (− ) = . 我们定义 V 的线性变换  与  的差

g-r=o+(-r) 这样，在L()里，加法的逆运算一一减法可以施行 现在定义F中的数与V的线性变换的一个“纯量乘法”。 设 k∈F,oeLW)。对于每一5eV,令ko()与它对应。这样得到V到V的一个 映射，记作ko. ko也是V的一个线性变换。事实上，令p=ko,那么对于a,beF和 E,n∈P, o(as+bn)=k(o(as+bn)) -k(ao(5)+bσ( =aka()+bka(n) =ap(5)+bp( 容易证明，下列算律成立 (5) k(a+t)=ka+kt, (6) (k+)a=ka+la, (7) (kD)a=k(la). (8) 1万=万 这里k,1是F中任意数，o,r是V的任意线性变换。 定理7.2.1 L(W)对于加法和纯量乘法来说作成数F域上一个向 量空间。 现在设o,r∈L。我们已经看到，合成映射。。x∈L(,,我们也把合成 映射oot叫做o与的积，并且记作oπ。算律 p(o+t)=po+pT (10) (G+)0=G0+t0, (11) (ko)r=(k=k(o 对于任意k∈F,o,P,r∈L(W门成立。 我们只验证一下等式(9)，其余两个等式可以类似地验证。设：eV。我 们有 p(o+r(5)=p((o+t5) =p(σ(E)+U(x(E) =po(5)+p(5) =(po+po5), 应而(9)成立

 − =  + (− ). 这样，在 L(V)里，加法的逆运算——减法可以施行。 现在定义 F 中的数与 V 的线性变换的一个“纯量乘法”。设 k  F,  L(V). 。对于每一  V, ，令 k  ( ) 与它对应。这样得到 V 到 V 的一个 映射，记作 k . k  也是 V 的一个线性变换。事实上，令  = k , ，那么对于 a，b  F 和  , V, (a + b) = k( (a + b)) = k(a ( ) + b ()) = ak ( ) + bk () = a( ) + b(). 容易证明，下列算律成立： （5） k( + ) = k + k , （6） (k + l) = k + l, （7） (kl) = k(l ), (8) 1 = , 这里 k,l 是 F 中任意数， , 是 V 的任意线性变换。 定理 7。2。1 L(V) 对于加法和纯量乘法来说作成数 F 域上一个向 量空间。 现在设 ,  L(V) 。我们已经看到，合成映射    L(V ), ，我们也把合成 映射   叫做  与  的积，并且记作  。算律 (9) ( + ) =  +  , (10) ( + ) =  + , (11) (k ) =  (kl) = k( ), 对于任意 k  F,, ,  L(V) 成立。 我们只验证一下等式（9），其余两个等式可以类似地验证。设  V 。我 们有 ( + )( ) = ( ( + )( )) = ( ( ) + ( )) = ( ( )) +( ( )) = ( ) +  ( ) = ( + )( ) , 应而（9）成立

7.1中等式(3)表明，线性变换的乘法满足结合律：对于任意 p,o,∈L(W,都有 (Do)r=D(σT) 因此，我们可以合理的定义一个线性变换o的次幂 0"=00…0, 这里n是正整数. 令！表示V到V的单位映射，称为V的单位映射。我们再定义 0 这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。 设 f(x)=ao+a x+...+a 是上一个多项式，而g∈LW),以o代替x,以ao1代替a,得到v的 个线性变换 ao1+a10+…+ano", 这个线性变换叫做当x=o时的值，并且记作f(o)。因为对于5eV任 意，a。(5)=a。5,我们也可将简记作，这时可以写 f(o)=a+a,+…+ang" 如果f(x),g(x)eF[x],并且 )f(x)+g(). v)=f()g(x). 那么根据中运算所满足的性质，我们 u(o)=f(o)+g(o), v()=f()g() 布置作业：P326.补充题1.1).2)3.1.2).3). 第三节 线性变换和矩阵 教学目的： 1、 熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A,以及n阶矩阵A和 基，求出关于这个基的矩阵为A的线性变 2 由向量a 于给定基的坐标」 求出c(@)关于这个基的坐标 3、 己知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的 矩阵。 教学内容： 1、 线性变换的矩阵 现在设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个 基 1,2,n 考虑V中任意一个向量 E=x141+x3g2+…+xnan 6()仍是V的一个向量.设

7．1 中等式（3）表明，线性变换的乘法满足结合律；对于任意 ,,,  L(V), ，都有 （ ) = ( ). 因此，我们可以合理的定义一个线性变换  的 n 次幂 n    n =   , 这里 n 是正整数. 令  表示 V 到 V 的单位映射，称为 V 的单位映射。我们再定义 0  =. 这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。 设 f( ) = 0 a 1 + a  ++ an 是上一个多项式，而   L(V ) ，以  代替  ，以 0 a  代替 0 a ，得到 V 的一 个线性变换 0 a + a1   + + an n  , 这个线性变换叫做当  =  时的值，并且记作 f(  ) 。因为对于  V 任 意， 0 a 0 () = a  ，我们也可将简记作，这时可以写 f( 0 () = a 1 + a  ++ an n  . 如果 f( ), g()  F[] ，并且 () = f () + g(),  () = f ()g(), 那么根据中运算所满足的性质，我们 u(  )=f(  )+g(  ), v(  )=f(  )g(  ). 布置作业:P326.补充题 1.1). 2) 3.1).2).3). 第三节 线 性 变 换 和 矩 阵 教学目的： 1、 熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵 A，以及 n 阶矩阵 A 和 基，求出关于这个基的矩阵 为 A 的线性变换。 2、 由向量关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐标。 3、 已知线性变换关于某个基的矩阵 ，熟练地求出关于另一个基的 矩阵。 教学内容： 1、 线性变换的矩阵 现在设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间.令是 V 的一个线性变换.取定一个 基 1 , 2 ,, n . 考虑 V 中任意一个向量 = . 1 1 2 2 n n x  + x  ++ x  ()仍是 V 的一个向量.设

c()=ya,+242+…+yn 自然要问，如何σ⑤)计算的坐标(y,2,…,y) G(a)=aua+azaz +...+ama. o(d2)=ana +aza++ama (2) can）=a.41+a2na2+…+aa, 这里a,i,jl,,n,就是oa,关于基a,…,an的坐标. 令 tttttttettttt ai…a n阶矩阵A叫做线性变换o关于基{a,a,…,n}的矩阵.矩阵A的第j列元 素就是这样，取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换， 有唯一确定的 F上n阶矩阵与它对应. 为了计算σ()关于基a,a2,…,an}的坐标，我们把等式(2)写成矩阵形式的 等式 (3) (c(a)oa2)…,oan》 =(aaa)A. 设 5=x1+x23+…+xm x1 =(a1,a2,…,an） x.) 因为σ是线性变换，所以 (4 σ5)=xo(a)+xo(a2)+…+xno(an) =aa,aa,以，ok》 x 将(3)代入(4)得 o)=(a,a,…,a)A

()= . 1 1 2 2 n n y  + y  ++ y  自然要问,如何()计算的坐标 ( ) n y , y , , y 1 2  . 令 ( ) ,  1 = a111 + a21 2 ++ an1 n ( ) ,   2 = a12 1+a22 2 ++ an2 n (2) …………………………………………… ( ) ,  an = a1n1 + a2n 2 ++ ann n 这里 ij ,i,j=1,…,n,就是 ( )   j 关于基   n , , 1  的坐标. 令 11 a 12 a … n a1 21 a 22 a … a2n A= …………………… n1 a an2 … ann n 阶矩阵 A 叫做线性变换  关于基 1 , 2 ,  , n  的矩阵.矩阵 A 的第 j 列元 素就是这样,取定 F 上 n 维向量空间 V 的一个基之后,对于 V 的每一个线性变换, 有唯一确定的 F 上 n 阶矩阵与它对应. 为了计算 ( ) 关于基 1 , 2 ,  , n  的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的 等式 (3) ( ( ) ( ) ( ))       n , , , 1 2  = (1 , 2 ,  , n )A. 设  = n n x11 + x2 2 ++ x  = ( )    n , , , 1 2                n x x x  2 1 因为  是线性变换,所以 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) n n   = x 1 + x2  2 ++ x   = ( ( ) ( ) ( ))               n n x x x   2 1 1 2   ,  , ,  将(3)代入(4)得 ( ) = ( )    n , , , 1 2  A . 2 1               n x x x 

最后等式表明，σ()关于(a,4,,a)的坐标所组成的列是 A xn 比较等式(1)，我们得到 定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个线性变换，而 关于V的一个基的矩阵是 aa2…an .A=a1a2…an （an a2…am 如果V中向量E关于这个基的坐标是(k,x,,x,,而σ)的坐标是 y,2,,y),那么 (5) (. x. 在空间V,内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量6,6，作为V的基.令σ是 将的每一向量旋转角0的一个旋转.。是，的一个线性变换.我们有 a(s)=s cos0+s2sin0, o(6)=-6,sn8+62cos0 所以σ关于基{8,8，}的矩阵是 cos0 -sin 0 sin 0 cos0 设5∈V2,它关于基6,6}的坐标(：，x2)是，而σ()的坐标是6，y2).那么 ）-m8】 例1令V是数域F上一个n维向量空间。。：5→k5是V的一个位似。那么 σ关于V的任意基的矩阵是

最后等式表明,( ) 关于 ( )    n , , , 1 2  的坐标所组成的列是 A               n x x x  2 1 比较等式(1),我们得到 定理 7.3.1 令 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间,是 V 的一个线性变换,而 关于 V 的一个基的矩阵是 .               = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 如果 V 中向量  关于这个基的坐标是 ( ) n x , x , , x 1 2  ,而 ( ) 的坐标是 ( ) n y , y , , y 1 2  ,那么 (5)               =               n n x x x A y y y   2 1 2 1 在空间 V2 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 1 2  , 作为 V2 的基.令  是 将 V2 的每一向量旋转角  的一个旋转. 是 V2 的一个线性变换.我们有 ( ) ( ) sin cos . cos sin , 2 1 2 1 1 2             = − + = + 所以  关于基  1 , 2  的矩阵 是         −     sin cos cos sin 设  V2 ,它关于基  1 , 2  的坐标 ( ) 1 2 x , x 是,而 ( ) 的坐标是 ( ) 1 2 y , y .那么 =        2 1 y y         −     sin cos cos sin         2 1 x x 例1 令 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间。  :   k 是 V 的一个位似。那么  关于 V 的任意基的矩阵是

0 多 (0 2、线性变换的性质： 引理7.3.2 设V是数域F上一个n维向量空间，a,a2,,an}是V的 一个基。那么对于V中任意n个向量B,B2,,Bn,恰有V的一个线性变换o, 使得 oa,)=B,i=1,2…n 证设 5=a%+x3+…+Xnan 是V中任意向量。我们如下地定义V到自身的一个映射σ： o(5)=x月+x2B2+…+xnBn 我们证明，σ是V的一个线性变换。设 刀=%+ya3+…+ynBn∈V 那么 5+n=(+%1+(2+乃2a +…+(n+yna 于是 o(店+)=(g+片)月+(x2+y2)B2+…+(。+yn)Bn =B+x2B+…+xg+yB++…+y,Bn)=o(5)+σ() 设a∈F,那么 o(a5）=o(a,a1+a2a2+…+aX,) =a,B+ax2B2+…+ax,B. =o(kB+x,B2+…+xnBn） =ao() 这就证明了σ是V的一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求的条 件： o(a)=B,i=1,2.…,n 如果π是V的一个线性变换，且 ta,)=B,i=l,2,…,w 那么对于任意5=xa1+x,a2+…+x,an∈V, t传）=tta1+x,a2+…+xan) =xt(a)+x2r(a2)+...+xr(a.) =x月+x2B2+…+xnfn =σ(G) 从而x=0 定理7.3.3设V是数域F上一个n维向量空间，{a,a2,…,am}是V的 个基。对于V的每一线性变换o，令o关于基a,a,,an}的矩阵A与它对

例2               k k k 0 0  2、线性变换的性质： 引理 7.3.2 设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间， 1 , 2 ,  , n  是 V 的 一个基。那么对于 V 中任意 n 个向量    n , , , 1 2  ，恰有 V 的一个线性变换  ， 使得 ( ) ,i 1,2, ,n.  i =  i =  证 设 n n  = x11 + x2 2 ++ x  是 V 中任意向量。我们如下地定义 V 到自身的一个映射  ： ( ) n n   = x11 + x2 2 ++x  我们证明，  是 V 的一个线性变换。设  = y11 + y2 2 ++ yn n V 那么 ( ) ( ) ( ) n n n x y x y x y      + + + + = + + +  1 1 1 2 2 2 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (   ) (    ) ( ) ()       = + + +  + + + + = + + = + + + + + + n n n n n n x x x y y y x y x y x y  n   1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 设 aF ，那么 ( ) ( ) ( )  ( )              a x x x ax ax ax a ax ax ax n n n n n n = = + + + = + + + = + + +    1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 这就证明了  是 V 的一个线性变换。线性变换  显然满足定理所要求的条 件： (i ) = i ,i =1,2,  ,n 如果  是 V 的一个线性变换，且  (i ) = i ,i =1,2,  ,n 那么对于任意 n n  = x11 + x2 2 ++ x  V ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )                = = + + + = + + + = + + + n n n n n n x x x x x x x x x    1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 从而  =. 定理 7.3.3 设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间， 1 , 2 ,  , n  是 V 的 一个基。对于 V 的每一线性变换  ，令  关于基 1 , 2 ,  , n  的矩阵 A 与它对

应。这样就得到V的全体线性变换所成的集合LW)到F上全体阶矩阵所成的 集合M.(F)的一个双射。并且如果o,x∈L),而 o→A,rHB, 那么 (6) +t→A+B,ao H>aA,.aeF (7) oT→AB. 证 设线性变换o关于基{a,a2,…,an}的矩阵是A。那么 是L)到Mn(F)的一个映射。反过来，设 a1a2…an a1an2…am 是F上任意一个n阶矩阵。令 B,=ayx1+a2jx2+…+amAn-j=l2,…,n 由引理7.3.2，存在唯一的∈L)使 oaj=p,j=1,2,…,n 显然关于基{a,a2,…,an}的矩阵就是A。这就证明了如上建立的映射是 L)到Mn(F)的双射。 设o→A=ax→B=(b)。我们有 (aca2…,an》=(a,a2,…,an4 (r(ax(a2…,t(an=(a1,a2,…,an)B 由于σ是线性变换，所以 a∑ha,=∑byala)J=l2,,n 因此 (ar(a)ar(aa)))=(a(a)a(ca)()A=(a)B 所以or关于基{a,a2,…,an}的矩阵就是AB。(7)式成立。至于(6)式 成立，是显然的。 这个定理说明，作为F上的向量空间)与M(F)同构。由(7)，我们 说，这个同构映射保持乘法。由此进一步得到 推论7.3.4设数域F上n维向量空间V的一个线性变换。关于V的一个 取定的基的矩阵是A。那么σ可逆必要且只要A可逆，并且。关于这个基的矩 阵就是A一1 证设σ可逆。令σ关于所取定的基的矩阵是B。由(7)， 然单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵1。所以AB=1。同理 A BA=I。所以B=A厂

应。这样就得到 V 的全体线性变换所成的集合 L(V ) 到 F 上全体 n 阶矩阵所成的 集合 M (F) n 的一个双射。并且如果 ,  L(V) ，而   A,  B, 那么 （6）  +  A + B,a  aA,a  F. （7）   AB. 证 设线性变换  关于基 1 , 2 ,  , n  的矩阵是 A。那么   A 是 L(V ) 到 M (F) n 的一个映射。反过来，设               = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 是 F 上任意一个 n 阶矩阵。令 , 1,2, , .  j = a1 j x1 + a2 j x2 ++ anj n j =  n 由引理 7.3.2，存在唯一的   L(V) 使 ( ) , j 1,2, ,n.   j =  j =  显然关于基 1 , 2 ,  , n  的矩阵就是 A。这就证明了如上建立的映射是 L(V ) 到 M (F) n 的双射。 设 ( ) ( )  A = ij  B = bij   , 。我们有 ( ( ) ( ) ( ))       n , , , 1 2  = (1 , 2 ,  , n )A ( ( ) ( ) ( ))  n   ,  , , 1 2  = (1 , 2 ,  , n )B 由于  是线性变换，所以 ( ) , 1,2, , . 1 1 b b j n n i i ij n i ij i   = =          = =     因此 ( ( ) ( ) ( ))       n , , , 1 2  = ( ( ) ( ) ( ))       n , , , 1 2  A= (1 , 2 ,  , n )AB 所以  关于基 1 , 2 ,  , n  的矩阵就是 AB。（7）式成立。至于（6）式 成立，是显然的。 这个定理说明，作为 F 上的向量空间 L(V ) 与 M (F) n 同构。由（7），我们 说，这个同构映射保持乘法。由此进一 步得到 推论 7.3.4 设数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换  关于 V 的一个 取定的基的矩阵是 A。那么  可逆必要且只要 A 可逆，并且 −1  关于这个基的矩 阵就是 −1 A 证 设  可逆。令 −1  关于所取定的基的矩阵是 B。由（7）， l  AB −1 =  然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I 。所以 AB=I。同理 BA=I。所以 B= −1 A