计算方法 傅孝胡 第十华量优化 方法 计算方法 傅孝明管理科研楼1207室1 E-mail:fuxm@ustc.edu.cn 1数学科学学院中国科学技术大学 4口4①424是2)00 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 . . . . . . . . 计算方法 傅孝明 管理科研楼 1207 室 1 E-mail: fuxm@ustc.edu.cn 1 数学科学学院 中国科学技术大学 傅孝明 计算方法
最优化方法 计算方法 博季明 最优化方法 第十草最玩化 研究求解数学问题最优解的学科，即对于给定的实际问题，从 方法 的1城生套代面 众多的解中选取最优的解.从数学意义上说，最优化方法是一 种求函数极值的方法，即在一组条件为等式或不等式的约束 地上排性多 地主性比业则 下，使选定的目标函数达到极值，即最大值或最小值 最优化问题 上下班如何规划乘车路线，才能快速又经济地到达公司；旅游 中如何选择航班和宾馆，既省钱又能玩得开心 。口，号15,2Q 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . 最优化方法 . 最优化方法 . . 研究求解数学问题最优解的学科, 即对于给定的实际问题, 从 众多的解中选取最优的解. 从数学意义上说, 最优化方法是一 种求函数极值的方法, 即在一组条件为等式或不等式的约束 下, 使选定的目标函数达到极值, 即最大值或最小值. . 最优化问题 . . 上下班如何规划乘车路线, 才能快速又经济地到达公司; 旅游 中如何选择航班和宾馆, 既省钱又能玩得开心. 傅孝明 计算方法
最优化方法 计算方法 傅孝胡 研究内容 第十草最玩化 最优化模型的建立、分析、求解及应用，譬如最优解的条件 方法 的1址姓到问面 或标准，求解的算法，以及收敛性、时间复杂度分析等.属于 的过性到R 几纸垂吴 计算数学，运筹学，系统工程等领域 的进甲件法 拉一地业紫 地上无表非越性选 应用领域 随着计算机的快速发展和普及，最优化方法在经济规划、工 程设计、生产管理、交通运输、国防安全等领域得到了广泛 的应用，发挥着越来越重要的作用。 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . 最优化方法 . 研究内容 . . 最优化模型的建立、分析、求解及应用, 譬如最优解的条件 或标准, 求解的算法, 以及收敛性、时间复杂度分析等. 属于 计算数学, 运筹学, 系统工程等领域. . 应用领域 . . 随着计算机的快速发展和普及, 最优化方法在经济规划、工 程设计、生产管理、交通运输、国防安全等领域得到了广泛 的应用, 发挥着越来越重要的作用. 傅孝明 计算方法
最优化方法 计算方法 博季胡 第十草最玩化 古老的极值问题，例如阿基米德(Archimedes)证明：给定周 方法 长，圆所包围的面积为最大，这是欧洲古代城堡几乎都建成圆 的1城生套代面 几兵单天 形的原因之一 地上性法 地主性比业则 最优化方法成为一门独立的学科是在第二次世界大战前后， 一性字生 由于军事上的需要以及科学技术和生产的迅速发展，许多实 际的最优化问题已经无法用古典方法来解决，从而促进了近 代最优化方法的产生 4口，g1三，1于2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . 最优化方法 古老的极值问题, 例如阿基米德 (Archimedes) 证明：给定周 长, 圆所包围的面积为最大, 这是欧洲古代城堡几乎都建成圆 形的原因之一. 最优化方法成为一门独立的学科是在第二次世界大战前后, 由于军事上的需要以及科学技术和生产的迅速发展, 许多实 际的最优化问题已经无法用古典方法来解决, 从而促进了近 代最优化方法的产生. 傅孝明 计算方法
最优化方法 计算方法 傅孝胡 具有代表性的工作有：以美国的丹齐格(Dantzig)和苏联的康 第十草最玩化 托罗维奇(Kantorovich)为代表的线性规划：以美国的库恩 方法 的1址姓到问面 (Kuhn)和塔克尔(Tucker)为代表的非线性规划；以美国的 的过性到Rm 八行又 贝尔曼(Bellman)为代表的动态规划；以苏联的庞特里亚金 的进甲件 (Pontryagin)为代表的极大值原理等，这些方法后来都形成体 地一端建荣 系，成为很活跃的领域 地上无有非址性秋 近些年来在实际应用应用的驱动下，譬如信号处理，机器学 习，推荐系统，自动驾驶等，凸优化，非光滑优化，整数规划等 得到了深入的研究. 000 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . 最优化方法 具有代表性的工作有: 以美国的丹齐格 (Dantzig) 和苏联的康 托罗维奇 (Kantorovich) 为代表的线性规划; 以美国的库恩 (Kuhn) 和塔克尔 (Tucker) 为代表的非线性规划；以美国的 贝尔曼 (Bellman) 为代表的动态规划；以苏联的庞特里亚金 (Pontryagin) 为代表的极大值原理等, 这些方法后来都形成体 系，成为很活跃的领域. 近些年来在实际应用应用的驱动下, 譬如信号处理, 机器学 习, 推荐系统, 自动驾驶等, 凸优化, 非光滑优化, 整数规划等 得到了深入的研究. 傅孝明 计算方法
§10.1.1线性规划问题 计算方法 在生产管理和经营活动中，经常会遇到一类问题：如何合理利用有 博孝胡 限的人力、物力、财力等资源，以取到最佳的经济效益。 第十华量优化 例10.1 方注 地山装性规划问圆 某工厂在计划期内要安排生产1、川两种产品，已知生产每种单位产品所需的设备台 几兵单天 数及A、B两种原材料的消耗，如表10.1所示 地上非性这 地里耳性比业则 的一线字类 产品 产品1 产品川 现有资源 设备 4台时/件 2台时/件 18台时 原材料A 4kg/件 1kg/件 16 kg 原材料B 1kg/件 3kg/件 12 kg 该工厂每生产一件1产品可获利2元，每生产一件川产品可获利5元，问应该如何 安排计划使该工厂获利最多？ 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . §10.1.1 线性规划问题 在生产管理和经营活动中, 经常会遇到一类问题: 如何合理利用有 限的人力、物力、财力等资源, 以取到最佳的经济效益. . 例 10.1 . . 某工厂在计划期内要安排生产 I、II 两种产品, 已知生产每种单位产品所需的设备台 数及 A、B 两种原材料的消耗, 如表10.1所示. 产品 产品 I 产品 II 现有资源 设备 4 台时/件 2 台时/件 18 台时 原材料 A 4 kg/件 1 kg/件 16 kg 原材料 B 1 kg/件 3 kg/件 12 kg 该工厂每生产一件 I 产品可获利 2 元, 每生产一件 II 产品可获利 5 元, 问应该如何 安排计划使该工厂获利最多? 傅孝明 计算方法
§10.1.1线性规划问题 计算方法 傅孝雨 第十华量优化 方选 例10.2 1地上线性规同题 地士址性到问M 生产某汽车需要用【、川、川三种规格的轴各一根，长度规格 八行又 的进甲件 分别为1.5、1、0.7米，它们需要用一种圆钢来制作，圆钢的 地丰性丝代北到面 拉一地建紫 长度为4米.现在要制造1000辆这种类型的汽车，问至少需 地上无行装非延性提 要多少根圆钢以满足生产需求？ 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . §10.1.1 线性规划问题 . 例 10.2 . . 生产某汽车需要用 I、II、III 三种规格的轴各一根, 长度规格 分别为 1.5、1、0.7 米, 它们需要用一种圆钢来制作, 圆钢的 长度为 4 米. 现在要制造 1000 辆这种类型的汽车, 问至少需 要多少根圆钢以满足生产需求? 傅孝明 计算方法
§10.1.2数学模型 计算方法 博季胡 第十华量优化 最优化问题的数学模型由三个要素组成： 方注 (1)变量或称决策变量，即问题中要优化的未知量，用于描述 地山装性规划问惠 问题中用数量表示的方案、措施等，其值可由决策者控 九兵单天 地上性法 制和确定 地主性比业则 山-紫 (2)目标函数，即决策变量的函数，按优化目标在这个函数前 加上max或min,表示目标函数欲取最大值或最小值； (3)约束条件，即刻画决策变量取值时受到的各种资源条件 的限制，通常表示为含决策变量函数的等式或不等式， 口母t42型专月QC 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . §10.1.2 数学模型 最优化问题的数学模型由三个要素组成: (1) 变量或称决策变量, 即问题中要优化的未知量, 用于描述 问题中用数量表示的方案、措施等, 其值可由决策者控 制和确定; (2) 目标函数, 即决策变量的函数, 按优化目标在这个函数前 加上 max 或 min, 表示目标函数欲取最大值或最小值; (3) 约束条件, 即刻画决策变量取值时受到的各种资源条件 的限制, 通常表示为含决策变量函数的等式或不等式. 傅孝明 计算方法
§10.1.2数学模型 计算方法 傅孝胡 如果在优化问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的，目 第十华量优化 标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线 方滋 性等式或不等式，则称它为线性规划问题，其一般的形式为 1地上线性规同题 的过性到R 八行数又 max(min)=C1X1+c2x2+...+Cnxn, 地上单生法 地丰性丝代此到面 a11x+a12x2+·+a1mxm≤(=，≥)b1, 地一城空 地士无有表非过性我 a211+a22x2+·+a2mxm≤(=，≥)b2 s.t. am1x1+am2x2+…+AmnXn≤(=，≥)bm x1,x2,·,xn≥0. 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . §10.1.2 数学模型 如果在优化问题的数学模型中, 决策变量的取值是连续的, 目 标函数是决策变量的线性函数, 约束条件是含决策变量的线 性等式或不等式, 则称它为线性规划问题, 其一般的形式为 max(min)z = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn, s. t. a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn 6 (=, >)b1, a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn 6 (=, >)b2, · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn 6 (=, >)bm, x1, x2, · · · , xn > 0. 傅孝明 计算方法
§10.1.2数学模型 计算方法 博孝明 第十华量优化 或简写为 方注 地线性城划通 max(mim:=∑ 地球性这 i= 地里耳性比业想 一性空生 a≤(=，≥)b,i=1,2,…m, 山无行表业班到 ≥0，j=1,2,…n 1口，0121型克月00 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第十章最优化 方法 §10.1 线性规划问题 §10.2 线性规划问题的 几何意义 §10.3 单纯形法 §10.4 非线性优化问题 §10.5 一维搜索 §10.6 无约束非线性优 化 . . . . . . §10.1.2 数学模型 或简写为 max(min)z = ∑n i=1 cixi , s. t. ∑n j=1 aijxj 6 (=, >)bi , i = 1, 2, · · · m, xi > 0, j = 1, 2, · · · n. 傅孝明 计算方法