上饶师范学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第三章线性方程组.doc_大学文库

第三章线性方程组 §1 消元法现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为        + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 s s sn n s n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     （1）的方程组，其中 1 2 xn x ,x ,, 代表 n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数， j b (j=1,2,…,s)称为常数项。方程组中未知量的个数与方程的个数 s 不一定相等。系数 ij a 的第一个指标 i 表示它在第 i 个方程,第二个指标 j 表示它是 j x 的系数。所谓方程（1）的一个解就是指由 n 个数 n k , k , , k 1 2  组成的有序数组（ n k , k , , k 1 2  ），当解集合。如果两个方程组有相同的 1 2 xn x ,x ,, 分别用 n k , k , , k 1 2  代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合。解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵               s s sn s n n a a a b a a a b a a a b        1 2 22 22 2 2 11 22 1 1 （2）来表示。实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。先看一个例子。例如，解方程组

. , 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 a c a c a c b a c a c a c b n n n n + + + = + + + =   把第二式的两边乘以 k，再与第一式相加，即为 ( ) ( ) ( ) . 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 a + k a c + a + k a c ++ a n + k a n cn = b + k b 故（ n c ,c , ,c 1 2  ）又满足(2)的第一个方程，因而是(2)的解。类似地可证(2)的任一解也是（1）的解。这就证明了（1）与(2)是同解的。对另外两种初等变换由读者自己去证明。下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。对于方程组（1），首先检查 x1的系数。如果 x1的系数 11 21 1 , , a a as 全为零，那么方程组（1）对 1 x 没有任何限制， 1 x 就可以取任何值，而方程组（1）可以看作 n x , , x 2  的方程组来解。如果 1 x 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设 a11  0 。利用初等变换 2，分别地把第一个方程的－ 11 1 a ai 倍加到第 i 个方程（i=2,…,s）。于是方程组（1）就变成        + + = + + = + + + = ` ` ` . ` 2 ` ` , 1 , 2 2 22 2 2 11 1 12 2 1 s sn n s n n a x a x b a x a x b a x a x a nxn b     (3) 其中 ` , 1 11 1 j i ij ij a a a a = a −  I=2,…,s,j=2,…,n. 这样，解方程组（1）的问题就归结为解方程组      + + = + + = ` ` ` . ` ` ` , 2 2 22 2 2 2 s sn n s n n a x a x b a x a x b    （4）的问题。显然，（4）的一个解，代入（3）的第一个方程就定出 1 x 的值，这就得出（3）的一个解；而（3）的解显然都是（4）的解。这就是说，方程组（3）有解的充分必要条件为方程组（4）有解，而（3）与（1）是同解的，因之，方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。对（4）再按上面的分析进行变换，并且这样一步步下去，最后就得到一个阶梯方程组，为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为

这就是方程组（8）的一般解，其中 2 x 是自由未知量。从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是（5）的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成（5）的样子。应该看到，r>n 的情形是不可能出现的。以上就是用消元法解线性方程组的整个过程，总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程线，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话）去掉，如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非零的数，那么方程组无解，否则有解，在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解。把以上结果应用到齐次线性方程组，就有定理 1 在齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0. 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     中，如果 s<n,那么它必有非零解。证明显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程组个数不会超过原方程组中方程的个数，即 r  s<n. 由 r<n 得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。¶ 矩阵               s s sn s n n a a a b a a a b a a a b        1 2 22 22 2 2 11 22 1 1 （10）称为线性方程线（1）的增广矩阵，显然，用初等变换化方程组（1）或阶梯形就相当于用初等变换化增广矩阵（10）成阶梯形矩阵。因而，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。例解      − + = − + = − + = 2 4 0. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 对它的增广矩阵作初等变换，           − − − 2 1 4 0 4 2 5 4 2 1 3 1 →           − − − 0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 3 1 →           − − 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 从最后一行（0 0 0 1）可以看出原方程组无解

§2n维向量空间上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性方程组，消元法是一个最有效和最基本的方法，但是，有时候需要直接从原方程组来看它是否有解，这样，消元法就不能用了。同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯决定的呢，这个问题也是没有解决的，这些问题就要求我们对线性方程组还要作讲一光的研究个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的，譬如说，在1方程组(8 2x1-2+3x3=1 4x1-2x2+5x3=4, 2x-x3+4x3=-1. 中，第一个方程的3倍减去第二个方程就等于第三个方程，这就是说，第三个方程可以去掉而不影响方程组的解。在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中只含有两个方程正是反映了这个情况。可以认为，初等变换是揭露方程之间关系的一种方法。因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论它解的情况，我们有必要来研究方程之间的关系。 -个n元方程 a+a2x2+…+anxn=b 可以用n+1元有序数组 (a,a2,…,an,b) 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的+1元有序数组之间的关系。因此，我们先来讨论多元有序数组。应该指出，多元有序数组不只是可以代表线性方程，而且还与其它方面还有极其广泛的联系。在解析几何中我们已经看到，有的事物的性质不能用一个数来划画。例如，为了刻画一个点在平面上的位置需要用两个数，一点在空间中的位置需要三个数，也就是产要知道它们的坐标又如力学中的力、速度、加速度等由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后它们就可以用三个数来刻画。几何中向量的概念正是它们的抽象。但是，还有不少的东西用三个数来刻画是不够的，如一个n元方程组的解是由n个数组成，而这个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，在几何上这样的例子也是不少的，为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标（三个数)以及它的半径，也就是说，球的大小和位置需要4个数来刻画。至于一个刚体的位置的确定就需要6个数了，事实上，如果我们在刚体中取定一个点以及过这一点的一根轴，那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数），轴的方向 (两个数一一它的方向余弦的两个)，以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）。在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况。譬如个工厂的生产好几种产品那么为了说明这个就需要同时指出每种产品的月丁厂的原料是来自好多地方，于是个原料的采购计划就需要指出从每个原料产地的米购量。总之，这样的例子举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组

§2 n 维向量空间上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性方程组，消元法是一个最有效和最基本的方法，但是，有时候需要直接从原方程组来看它是否有解，这样，消元法就不能用了。同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯一决定的呢，这个问题也是没有解决的，这些问题就要求我们对线性方程组还要作进一步的研究。显然，一个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的，譬如说，在§1 方程组（8）      − + = − − + = − + = 2 4 1. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 中，第一个方程的 3 倍减去第二个方程就等于第三个方程，这就是说，第三个方程可以去掉而不影响方程组的解。在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中只含有两个方程正是反映了这个情况。可以认为，初等变换是揭露方程之间关系的一种方法。因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论它解的情况，我们有必要来研究方程之间的关系。一个 n 元方程 a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = b 可以用 n+1 元有序数组 ( , , , , ) a1 a2  an b 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的 n+1 元有序数组之间的关系。因此，我们先来讨论多元有序数组。应该指出，多元有序数组不只是可以代表线性方程，而且还与其它方面还有极其广泛的联系。在解析几何中我们已经看到，有的事物的性质不能用一个数来刻画。例如，为了刻画一个点在平面上的位置需要用两个数，一点在空间中的位置需要三个数，也就是产要知道它们的坐标。又如力学中的力、速度、加速度等，由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后，它们就可以用三个数来刻画。几何中向量的概念正是它们的抽象。但是，还有不少的东西用三个数来刻画是不够的，如一个 n 元方程组的解是由 n 个数组成，而这 n 个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，在几何上这样的例子也是不少的，为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标（三个数）以及它的半径，也就是说，球的大小和位置需要 4 个数来刻画。至于一个刚体的位置的确定就需要 6 个数了，事实上，如果我们在刚体中取定一个点以及过这一点的一根轴，那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数），轴的方向（两个数――它的方向余弦的两个），以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）。在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况。譬如一个工厂的生产好几种产品，那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出每种产品的产量又如一个工厂的原料是来自好多地方，于是一个原料的采购计划就需要指出从每个原料产地的采购量。总之，这样的例子举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组

上饶师范学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第三章 线性方程组

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