第一章事件与概率 §1.1随机事件和样本空间 我们在引言中已经介绍了随机试验，现在进一步明确他的含义。一个试验如果满足下述 条件： (1)试验可以在相同的情形下面复讲行： ,并且不止 一个 定出现哪一个结果： 就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也称为试验。 随机试验的，每一格可能结果，称为基本事件。因为随机试验的所有可能结果是明确的， 从而所有的基本事件也是明确的，他们的全体，称作样本空间，通常用字母Q表示， 常用0表示 例1.1在前述试验Ⅱ中，令 01={取得白球}，02=（取得黑球） 0={01, 例1.2 个完全相同的球分别标以号码1,2，…，10，从中任取一球， i=取得球的标号为i} Q=1,2,…,10} 例1.3讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令 ={收到的呼唤次数为计 例1.4测量某地水温，令 t={测得的水温为tC} Q=「0.1001 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生。如在例1.2中，我们 可以研究 A=球的标号=6 ={球的标号是偶数) C={球的标号小≤5} 这些结果是否发生？其中A是一个基本事件，而B与C则有多个基本事件所组成，相对于基 本事件，就称它们是复杂事件，无论是基本事件还是复杂事件，它们的试验中发生与否，都 带有随机性，所以都叫作随机事件或简称为事件。习惯上人们常用大写字母A,B,C等表示 事件。在试验中，如果出现A中所包含的某一个基本事件0，则称作A发生，并记作：0∈A 我们已经知道样木空间Q包含了全体基本事件，而随机事件不过是某些特征的基本事 件所组成，所以从生合论的观占来看， 一个随机事件不过是样本空间的一格子集而己」 如在例1.2中，Q=1,2,…10,显然，前述的随机事件A,B,C都是2的子集，它们可 以简单的表示为A={6,B=2,4,6,8,10},C=1,2,3,4,5}。 又因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω重的某一基本 事件0，即0∈Q。也就是在试验中，2必然会发生，所以今后又2来代表一次必然事件
第一章 事件与概率 §1.1 随机事件和样本空间 我们在引言中已经介绍了随机试验，现在进一步明确他的含义。一个试验如果满足下述 条件： （1） 试验可以在相同的情形下重复进行； （2） 试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； （3） 每次试验总总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能确 定出现哪一个结果； 就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也称为试验。 随机试验的，每一格可能结果，称为基本事件。因为随机试验的所有可能结果是明确的， 从而所有的基本事件也是明确的，他们的全体，称作样本空间，通常用字母 表示， 常用 表示。 例1.1 在前述试验Ⅱ中，令 1={取得白球}， 2={取得黑球} 则 ={ 1， 2} 例1.2 一个盒子中有十个完全相同的球分别标以号码 1，2，…，10，从中任取一球， 令 i={取得球的标号为 i} 则 ={1，2，…，10} 例1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令 i={收到的呼唤次数为 i} 例1.4 测量某地水温，令 t={测得的水温为 t℃} 则 =[0，100] 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生。如在例 1.2 中，我们 可以研究 A={球的标号=6} B={球的标号是偶数} C={ 球的标号小≤5} 这些结果是否发生？其中 A 是一个基本事件，而 B 与 C 则有多个基本事件所组成，相对于基 本事件，就称它们是复杂事件，无论是基本事件还是复杂事件，它们的试验中发生与否，都 带有随机性，所以都叫作随机事件或简称为事件。习惯上人们常用大写字母 A，B，C 等表示 事件。在试验中，如果出现 A 中所包含的某一个基本事件 ，则称作 A 发生，并记作： A. 我们已经知道样本空间 包含了全体基本事件，而随机事件不过是某些特征的基本事 件所组成，所以从集合论的观点来看，一个随机事件不过是样本空间 的一格子集而已。 如在例 1.2 中， ={1，2，…10}，显然，前述的随机事件 A，B，C 都是 的子集，它们可 以简单的表示为 A={6}，B={2，4，6，8，10}，C={1，2，3，4，5}。 又因为 是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现 重的某一基本 事件 ，即 。也就是在试验中， 必然会发生，所以今后又 来代表一次必然事件
相应地，空集⑦可以看做是0∈⑦，也就是说⑦永远不可能发生，所以⑦是不可能事件】 必然事件和不可能事件的发生与香，己经失去了“不确定性”，因而本质上它们不是随机事 件。但是为了方便起见，我们还是把它们看作随机事件，稍后我们会理解，它们不过是随机 事件的两个极端情形而已。 一个样本空间口中，可以有很多的随机事件。概率论的任务之一，是研究随机事件的 规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律。为此，需要研究事件之间的 关系和事件之间的一些运算。 如果没有特别的声明，在以下的叙述中总认为样本空间Q已经给定，并且还给定了Q中 的一些事件，如A、B、A,(I=1,2,)等等 1.如果事件A发生必然导致事件Bf发生，则称B包含了A,或者A是B的特款，并记 作A一B或B一A。比如在前面提到过的A=球的标号=6}这一事件发生就导致事件B{球的标 号是偶数)的发生，因为摸到标号为6的球意味着标号为偶数的球出现了，所以前者是后者 的特款，也就是后者包含了前者 可以给上述的含意以一个直观的几何解释，设样本空间2是一个正方形（见图1.1），A 与B是两个事件也就是说是2的某两个子集。“A发生必然导致B发生”意味着“属于A的0 必然属于B”,即A中的点全在B中，其几何图形如右所示： Q 由此可知，事件ACB的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件不含有任何,所以对任一事件A,我们约定 CA 2.如果有ACB,B一A同时成立，则称事件A与B相等，记作A=B。易知，相等的两个 事件A、B,总是同时发生或同时不发生。 3.“事件A与B中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A与B的并（或和）， 并记作AUB。他的几何表示如下： 图1.2 图中的阴影部分是事件“AUB”如在例1.2中，若
相应地，空集 可以看做是 ，也就是说 永远不可能发生，所以 是不可能事件。 必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”，因而本质上它们不是随机事 件。但是为了方便起见，我们还是把它们看作随机事件，稍后我们会理解，它们不过是随机 事件的两个极端情形而已。 一个样本空间 中，可以有很多的随机事件。概率论的任务之一，是研究随机事件的 规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律。为此，需要研究事件之间的 关系和事件之间的一些运算。 如果没有特别的声明，在以下的叙述中总认为样本空间 已经给定，并且还给定了 中 的一些事件，如 A、B、 Ai （I=1，2，…）等等 1. 如果事件 A 发生必然导致事件 Bf 发生，则称 B 包含了 A，或者 A 是 B 的特款，并记 作 A B 或 B A。比如在前面提到过的 A={球的标号=6}这一事件发生就导致事件 B{球的标 号是偶数}的发生，因为摸到标号为 6 的球意味着标号为偶数的球出现了，所以前者是后者 的特款，也就是后者包含了前者。 可以给上述的含意以一个直观的几何解释，设样本空间 是一个正方形（见图 1.1），A 与 B 是两个事件也就是说是 的某两个子集。“A 发生必然导致 B 发生”意味着“属于 A 的 必然属于 B”，即 A 中的点全在 B 中，其几何图形如右所示： A B 由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A 2. 如果有 A B，B A 同时成立，则称事件 A 与 B 相等，记作 A=B。易知，相等的两个 事件 A、B，总是同时发生或同时不发生。 3. “事件 A 与 B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件 A 与 B 的并（或和）， 并记作 A B。他的几何表示如下： 图 1.2 图中的阴影部分是事件“A B”如在例 1.2 中，若
A=(球的标号为偶数) B={球的标号≤3 则 AUB=(球的标号为1,2,3,4，6,8,10 4.事件A与B同时发生“，这样的事件称作事件A与B的交（或积），记作A⌒B(或 AB),它对应图1,3种的阴影部分： 如在例1,2中，若A、B同上，则 图1.3 AAB=球的标号2】 5.“事件A发生而B不发生”，这样的事件称为事件A与B的差，记作A-B,它表示了图 1.4中的阴影部分： 如在例1.2中，若A、B同上，则 A一=球的标号为4,6,8,10 6.若事件A与B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即ABO,则称事件A 与B互不相容。下面的图1.2表示了这一情形：
A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3} 则 A B={球的标号为 1，2，3，4，，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或积），记作 A B（或 ＡＢ），它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则 图 1.３ A B＝｛球的标号２｝ 5．“事件 A 发生而 B 不发生”，这样的事件称为事件 A 与 B 的差，记作 A-B，它表示了图 1.4 中的阴影部分： A B B A 如在例 1.2 中，若 A、B 同上，则 A—B={球的标号为 4，6，8，10} 6． 若事件 A 与 B 不能同时发生，也就是说 AB 是一个不可能事件，即 AB= ，则称事件 A 与 B 互不相容。下面的图 1.2 表示了这一情形；
如在例1.2中，若 A=(球的标号为偶数) B={球的标号为3引 则显然A与B不可能同时发生，即有AB=⑦，也就是说A与B互不相容的。 图1.5 7,若A是一个事件，令A=2一A,称A是A的对立事件或逆事件。容易知道在一次试验 中，若A发生，则A必不发生（反之亦然）即A与A二者只能发生其中之一，并且也必然 发生其中之一。因而有 A4-0 AU A=Q 此外显然有 A=A 如在例1.2中，若 A={球的标号为偶数) A=(球的标号为奇数) 8.若有n个事件：A,A2,,An,则“A,A2,,An中至少发生其中的一个” 这样的事件称作4,4，”，A,的并，并记作AU4U…UA,或心4：若“4 4,…,A,同时发生”，这样的事件称作A,4,…,A,的交，记作A43…A,或门A 如果读者己经有了一定的集合论知识。一定会发现事件间的关系与布尔(B0L©) 代数中集合间的关系及运算之间是完全可以互相类比的。类比关系见书P9。 例1.5设A、B、C是2中的随机事件，则 事件“A与B发生，C不发生”可以表示成ABC
如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号为 3} 则显然 A 与 B 不可能同时发生，即有 AB= ，也就是说 A 与 B 互不相容的。 A B 图 1.5 7 . 若 A 是一个事件,令 − A = — A，称 − A 是 A 的对立事件或逆事件。容易知道在一次试验 中，若 A 发生，则 − A 必不发生（反之亦然）即 A 与 − A 二者只能发生其中之一，并且也必然 发生其中之一。因而有 A − A = A − A = 此外显然有 = A =A 如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} 则 − A ={球的标号为奇数} 8. 若有 n 个事件： A1， A2 ，…， An ，则“ A1， A2 ，…， An 中至少发生其中的一个” 这样的事件称作 A1， A2 ，…， An 的并，并记作 A1 A2 … An 或 n i=1 Ai ；若“ A1， A2 ，…， An 同时发生”，这样的事件称作 A1，A2 ，…， An 的交，记作 A1 A2 … An 或 n i=1 Ai . 如果读者已经有了一定的集合论知识。一定会发现事件间的关系与布尔（BooLe） 代数中集合间的关系及运算之间是完全可以互相类比的。类比关系见书 P 9。 例 1.5 设 A、B、C 是 中的随机事件， 则 事件“A 与 B 发生，C 不发生”可以表示成 AB − C
“A、B、C中至少有二个发生”可以表示成ABUACBC, “A、B、C中恰好有二个发生”可以表示成ABCABC ABC, “A、B、C中不多于一个与一个事件发生”可以表示成ABCUABCABO, 事件的运算满足下述规则： (1)交换律：AUB=BUA,AB=BA (1.1) (2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC) (1.2) (AB)C=A (BC) (1.3) (3)分配律：(AB)⌒C=ACUBC (1.4) (AnB)UC=(AUC)(BUC) (1.5) (4)德摩根定理（对偶原则）： 04=∩4 (1.6) 04·0风 (1.7) 证明：（略）
“A、B、C 中至少有二个发生”可以表示成 AB AC BC， “A、B、C 中恰好有二个发生”可以表示成 AB − C A − B C − A BC， “A、B、C 中不多于一个与一个事件发生”可以表示成 − A − B − C A − B − C − A − B C， 事件的运算满足下述规则： （1）交换律：A B=B A，AB=BA （1.1） （2）结合律 ：（A B） C=A （B C） （1.2） （AB）C=A（BC） （1.3） （3）分配律：（A B） C=AC BC （1.4） （A B） C=（A C） （B C） （1.5） （4）德摩根定理（对偶原则）： ________ 1 n i Ai = = n i Ai 1 __ = （1.6） _______ 1 n i Ai = = n i Ai 1 __ = （1.7） 证明：（略）