第二章离散型随机变量 §2.1一维随机变量及分布 在第一章里，我们研究了随机事件及其概率：细心的读者可能会注意到在某些例子中，随 机事件和实数之间存在着某种客观的联系.例如，在贝努里概型这一节中，曾经讨论过“在重 贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，如果令 E=即面贝努甲式验中事件A出现的次数 则上述“重贝努里试验中事件A出现k次”这个事件就可以简单地记作（k),从而有 P(E=K)=p'g"- (2.1) 并且5所有可能取到的数值也就是试验中事件A可能出现的次数0,1，.在另一些例子中 随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系，但是我们常常可以人为地给它们建 立起一个对应关系.例如抛掷一枚均匀的硬币，可能出现正面，也可能出现反面，现在约定 若试验结果出现1 ,令n 若试验结果出现反面，令n=0, 这时就有： {试验的结果出现正面}=(n=1), (试哈的结果出现反面}=(n=0) 在上面的讨论中，我们遇到了两个变量：和，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不 能确定的，因为它们的取值依赖于试验的结果，也就是说它们取值是随机的。人们常常称这 变量为随机变量，由前面的两个例子可知，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简 洁的多了.但是这个好外毕竟只是形式上的，在以后的讨论中，读者会看到引入“随机变量” 这个概今还有更为深远的意义 在上述第一个例子中，对每个式哈的结果“自然地”对应若一个实数而在第二个了 中，这种对应的关系是人为地建立起来的.由此可见，无论是明 一种情形，所谓随机变量，不过 是试验结果（即样本点！）和实数之间的一个对应关系，这与数学分析中熟知的“函数”概念本 质上是一回事.只不过在函数概念中，函数「(x)的自变量是实数x,而在随机变量的概念中， 随机变量5(。)的自变量是样本点“.因为对每一个试验结果“，都有实数ξ（ω）与之对应 所以ξ(。)的定义域是样本空间Q,显然值域是实数轴.此外，重要的一点是，虽然在试验这 前不能肯定随机变量5()会取 一个数值，但是对于任一实数a,我们可以研究（ξ(）】 发生的概率，也就是ξ(“)会取到什么样的统计规律，在这一章里我们先研究一类比较特殊 的随机变量。 定义2.1定义在样本空间Q上，取值于实数域R,且只取有限个或可列个值的变量ξ= (),称作是一维（实值）离敢型随机变量，简称为离散型随机变量 例2.1设Q=(某无线电厂1980年一季度出厂的12寸电视机)，对w∈Q,令 5()=“在一年中出故障的次数 则ξ（ω）是Q上的一个一维离散型随机变量，ξ(@)的可能取值范围为0,1,2).在试验（即 取定某一架电视机)之前，前不能断定5会取哪一个值，但是我们可以知道（ξ=0、(5=1） ，这些事件又发生的概率（也就是在总体中所占的比例.事实上，可以把这些电视机一年中 发生故障次数的分布情况列成下表： 「0次1次 (2.2) Lp5=0)pξ=1)…
第二章 离散型随机变量 §2.1 一维随机变量及分布 在第一章里,我们研究了随机事件及其概率;细心的读者可能会注意到,在某些例子中,随 机事件和实数之间存在着某种客观的联系.例如,在贝努里概型这一节中,曾经讨论过“在 n 重 贝努里试验中,事件 A 出现 k 次”这一事件的概率,如果令 ξ=n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数 则上述“n 重贝努里试验中事件 A 出现 k 次”这个事件就可以简单地记作(ξ=k),从而有 P(ξ=K)= n k n k k p q − (2.1) 并且ξ所有可能取到的数值也就是试验中事件A可能出现的次数:0,1,…n.在另一些例子中, 随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系,但是我们常常可以人为地给它们建 立起一个对应关系.例如抛掷一枚均匀的硬币,可能出现正面,也可能出现反面,现在约定 若试验结果出现正面,令η=1, 若试验结果出现反面,令η=0, 这时就有: { 试验的结果出现正面}=(η=1), { 试验的结果出现反面}=(η=0). 在上面的讨论中,我们遇到了两个变量: ξ和η,这两个变量取什么值,在每次试验之前是不 能确定的,因为它们的取值依赖于试验的结果,也就是说它们取值是随机的.人们常常称这种 变量为随机变量,由前面的两个例子可知,有了随机变量,至少使随机事件的表达在形式上简 洁的多了.但是这个好外毕竟只是形式上的,在以后的讨论中,读者会看到引入“随机变量” 这个概念还有更为深远的意义. 在上述第一个例子中,对每个试验的结果, “自然地”对应着一个实数,而在第二个例子 中,这种对应的关系是人为地建立起来的.由此可见,无论是哪一种情形,所谓随机变量,不过 是试验结果(即样本点!)和实数之间的一个对应关系,这与数学分析中熟知的“函数”概念本 质上是一回事.只不过在函数概念中,函数 f(x)的自变量是实数 x,而在随机变量的概念中, 随机变量ξ(ω)的自变量是样本点ω.因为对每一个试验结果ω,都有实数ξ(ω)与之对应, 所以ξ(ω)的定义域是样本空间Ω,显然值域是实数轴.此外,重要的一点是,虽然在试验这 前不能肯定随机变量ξ(ω)会取哪一个数值,但是对于任一实数 a,我们可以研究{ξ(ω) } 发生的概率,也就是ξ(ω)会取到什么样的统计规律.在这一章里我们先研究一类比较特殊 的随机变量. 定义 2.1 定义在样本空间Ω上,取值于实数域 R,且只取有限个或可列个值的变量ξ=ξ (ω),称作是一维(实值)离散型随机变量,简称为离散型随机变量. 例 2.1 设Ω={某无线电厂 1980 年一季度出厂的 12 寸电视机},对ω∈Ω,令 ξ(ω)= ω在一年中出故障的次数 则ξ(ω)是Ω上的一个一维离散型随机变量, ξ(ω)的可能取值范围为(0,1,2…).在试验(即 取定某一架电视机)之前,前不能断定ξ会取哪一个值,但是我们可以知道(ξ=0) ﹑(ξ=1) ﹑…这些事件又发生的概率(也就是在总体中所占的比例).事实上,可以把这些电视机一年中 发生故障次数的分布情况列成下表: = = (ξ 0) p(ξ 1) 0 1 p 次 次 (2.2) 或
P (2.2') 并且称(2.2)或(2.2)为随机变量(@)分布列，也称为分布律，有时就简称为分布 例2.2在n=5的贝努里试验中，设事件A在一次试验中出现的概率为p,令 E=5次试验中事件A出现的次数 则由(2.1)知 r卧a 于是，5的分布列为： 0 12345 spa'10p'g'10p'g?sp'q p 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列{P,}都具有下述两个性质： (1)p,≥，i1,2, 四∑P,= 反过米，任意一个具有以上两个性质的数列{P,,都有资格作为某一个随机变量的分布列 分布列不仅明确地给出了(5=a,)的概率，而且对于任意的实数a<b,事件(a≤ξ≤b)发生的 概率均可由分布列算出，因a≤5≤U(店=a,) a鱼b 于是由概率的可加性有 pa≤≤b)-∑p5=a,)=∑P (2.5) 其中Iab={ia≤a,≤b},即使对R中更复杂的集合B,也有 p∈b)-EG=a,)-EP (2.6) 其中(B)：a,∈B}.由此可知，ξ(@)取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得 到，这件事实常常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律。 回到本节开始时的n重贝努里试验的例子，已知有
(2.2 ' ) 并且称(2.2)或(2.2 ' )为随机变量ξ(ω)分布列,也称为分布律,有时就简称为分布. 例 2.2 在 n=5 的贝努里试验中,设事件 A 在一次试验中出现的概率为 p,令 ξ=5 次试验中事件 A 出现的次数 则由(2.1)知 P(ξ=k)= k k p q k − 5 5 , 0≤k≤5 于是, ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 4 5 p i 5 q 4 5pq 2 3 10 p q 3 2 10 p q p q 4 5 5 p 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列{ i p }都具有下述两个性质： （1） i p ≥，i=1,2, …; (2) 1 1 = i= pi . 反过来，任意一个具有以上两个性质的数列{ i p }，都有资格作为某一个随机变量的分布列. 分布列不仅明确地给出了(ξ= i a )的概率,而且对于任意的实数 a<b,事件(a≤ξ≤b)发生的 概率均可由分布列算出,因为(a≤ξ≤b)= (ξ a ) ≤a ≤b i i a = 于是由概率的可加性有 = = = a,b A,B ∈I i i∈I ( ≤ξ ≤b) p(ξ ai ) P i p a (2.5) 其中 I a,b ={i:a≤a i ≤b},即使对 R 中更复杂的集合 B,也有 = = = ∈I(B) i i∈I(B) (ξ∈b) p(ξ ai ) P i p (2.6) 其中 I(B)={i: ∈B} ai .由此可知, ξ(ω)取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得 到,这件事实常常说成是:分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律. 回到本节开始时的 n 重贝努里试验的例子,已知有 ξ 1 a 2 a … P i 1 p 2 p …
A=e==g,ea 容易验证 ()P4>0,0≤k≤ aEn- (2.7) 在这个例子中，读者可以注意到 p osken 恰好是二项式(P+q)”的展开式中的第k+1项，由此人们给分布列P:= [n7 n起了一个名字，称它为二项分布，并且记 图卧n (2.8) 一个随机变量的分布列如果是二项分布，也称该随机变量服从二项分布.所以上述例子中的ξ 是服从二项分布b(knp)的随机变量. 在二项分布中，如果=l,那么k只能取值0或1，这时显然有 Po=q, P=p (2.9 也可以表示成 E 0 1 q 这个分布列称为0一1分布或二点分布，它是二项分布的特例，本节开始时讨论过的抛掷硬币 的例子中，随机变量n的分布列为： 0 2 它就是0一1分布当p=时的特例 在第一章里曾经提到，必然事件Q可以作为随机事件的极端情形来看待，相应地，在Q上有 定义的恒等于常数a的变量ξ（虽然它的取值已经失去随机性），也可以看作为随机变量的极 端情形这时，随机变量ξ的分布列为 Fa) (2.10 人们称这个分布为单点分布或退化分布。 以上是一些只取有限个值的随机变量的例子，下面进一步讨论取可列个值的随机变量的例子 例2.3在一个贝努里试验中，每次试验成功的概率为p失败的概率为q=1-p(0<p<1),设试 验进行到第ξ次才出现成功，求ξ的分布列
, k n (ξ k) k n k pk p p q − = = = 0≤k≤r 容易验证: (1) k p >0, 0≤k≤n; (2) ( ) 1 0 0 = + = = − = = k n k n n k n k k p q p q k n p (2.7) 在这个例子中,读者可以注意到 k n k k p q k n p − = , 0≤k≤n 恰好是二项式 n ( p + q) 的展开式中的第k+1项,由此人们给分布列 k n k k p q k n p − = (0≤k≤ n)起了一个名字,称它为二项分布,并且记 p q b(k;n, p) k n k n k = − (2.8) 一个随机变量的分布列如果是二项分布,也称该随机变量服从二项分布.所以上述例子中的ξ 是服从二项分布 b(k;n,p)的随机变量. 在二项分布中,如果 n=1,那么 k 只能取值 0 或 1,这时显然有 , p0 = q p1 = p (2.9) 也可以表示成: ξ 0 1 i p q p 这个分布列称为 0—1 分布或二点分布,它是二项分布的特例,本节开始时讨论过的抛掷硬币 的例子中,随机变量η的分布列为: ξ 0 1 i p 2 1 2 1 它就是 0—1 分布当 p= 2 1 时的特例. 在第一章里曾经提到,必然事件Ω可以作为随机事件的极端情形来看待,相应地,在Ω上有 定义的恒等于常数 a 的变量ξ(虽然它的取值已经失去随机性),也可以看作为随机变量的极 端情形.这时,随机变量ξ的分布列为 P(ξ=a)=1 (2.10) 人们称这个分布为单点分布或退化分布. 以上是一些只取有限个值的随机变量的例子,下面进一步讨论取可列个值的随机变量的例子. 例 2.3 在一个贝努里试验中,每次试验成功的概率为 p,失败的概率为 q=1-p(0<p<1),设试 验进行到第ξ次才出现成功,求ξ的分布列
解由例1.16可知 P=k=pg,ke1,2… (2.11) 容易看到P四，k12…是几何级数2p四的一般项，于是人们称它为几何分布，并记 pq*--q(k.p). 观察某电话局在单位时间内收到用户的呼唤次数、某公共汽车站在单位时间里来站乘 车的乘客、宇宙中单位体积内星球的个数、耕地上单位面积内杂草的数目等，如果相应的变 量用：表示，那么实践表明，飞的统计规律近似地为： ek012 (2.12 其中x0是某个常数，易于验证有 (1)Pξ=k>0,k=-0,1,2； 这个分布称作是参数为入的一个普位松(Poissor)分布，并常常记作P(k,入) 例2.4在一个放射性物质的试验中，共观察了N=2608次，每次观察的时间间隔为7 ,5秒，并记录到达指定区域内的质点的频率，而k3.870,)表示参数λ=3.870，ξ=k的概率 表2.1给出了两者的对照值 表2.1 Pk:3.870) N 0 00129 00209 0.0778 0.0807 2 0.1469 0.1562 3 0.2013 0.2015 4 0.2040 0.1949 5 0.1564 0.1509 6 0.1047 0.0973 00533 00538 8 0.0172 0.026 9 0.0104 0.0112 k210 0.0061 0.0066 从表2.1中可以看到，理论舒畅概率)和观察值（频率）两者是符合得相当好的.事实上，在一些 相当直观和人合乎实际情况的前提下，人们已经证明这个随机变量的分布列是 个普哇松分 布，我们在稍后将给出一个比较直观的论证由于许多实际问题中的随机变量都可以用普哇松 分布来描述，从而使得普哇松分布对于概率论的应用来说，有着很重要的作用：而概率论理论 的研究又表明普哇松分布在理论上也有其特殊重要的地位，这里我们只就二项分布与普哇松 分布之间的关系证明下述定理
解 由例 1.16 可知 P(ξ=k)= k−1 pq , k=1,2, … (2.11) 容易看到 k−1 pq , k=1,2, …是几何级数 = − 1 1 k k pq 的一般项,于是人们称它为几何分布,并记 k−1 pq =q(k,p). 观察某电话局在单位时间内收到用户的呼唤次数﹑某公共汽车站在单位时间里来站乘 车的乘客﹑宇宙中单位体积内星球的个数﹑耕地上单位面积内杂草的数目等,如果相应的变 量用ξ表示,那么实践表明, ξ的统计规律近似地为: P(ξ=k)= − e k k ! , k=0,1,2… (2.12) 其中λ>0 是某个常数,易于验证有 (1) P(ξ=k)>0,k=0,1, 2, …; (2) 1 ! (ξ k) 0 0 = = = = − = k k k e k p . 这个分布称作是参数为λ的一个普位松(Poisson)分布,并常常记作 P(k; λ). 例 2.4 在一个放射性物质的试验中,共观察了 N=2608 次,每次观察的时间间隔为 7 .5秒,并记录到达指定区域内的质点的频率,而P(k;3.870,)表示参数λ=3.870, ξ=k的概率, 表 2.1 给出了两者的对照值 表 2.1 k N Nk P(k;3.870) 0 0.0129 0.0209 1 0.0778 0.0807 2 0.1469 0.1562 3 0.2013 0.2015 4 0.2040 0.1949 5 0.1564 0.1509 6 0.1047 0.0973 7 0.0533 0.0538 8 0.0172 0.0260 9 0.0104 0.0112 k≥10 0.0061 0.0066 从表 2.1 中可以看到,理论舒畅(概率)和观察值(频率)两者是符合得相当好的.事实上,在一些 相当直观和人合乎实际情况的前提下,人们已经证明这个随机变量的分布列是一个普哇松分 布,我们在稍后将给出一个比较直观的论证.由于许多实际问题中的随机变量都可以用普哇松 分布来描述,从而使得普哇松分布对于概率论的应用来说,有着很重要的作用;而概率论理论 的研究又表明普哇松分布在理论上也有其特殊重要的地位,这里我们只就二项分布与普哇松 分布之间的关系证明下述定理
定理2.1（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为p,(与 试验总数n有关)，如果当n→o时，nP。→元(0常数)，则有 里bkmp)=若e,ko121Bn 证明记npn=入n, a p.). a-ak+会0- k! --引头) 对于一个固定的k,显然有 m-)=衣 m-会-m 还有 m-} 从而 =ap-名e 对于任意的kk=0,1,2,…)成立，定理得证 这个定理有什么作用呢？首先，它可以用来作近似计算在二项分布中，要计算b(kp) 「n] P-P,)一，当n和k都比较大时，计算量是令人储的，如果这时不太大（卿p较 小)，那么由普哇松定理就有 p若 (2.14) 其中入=p,而要计算 Q,有专用的普哇松分布表可查这就方便多了
定理 2.1 (普哇松定理) 在 n 重贝努里试验中,事件 A 在一次试验中出现的概率为 n p (与 试验总数 n 有关),如果当 n → ∞时,n n p → ( >0 常数),则有 − → = e k b k n p k n n ! lim ( ; , ) , k=0,1,2,… (2.13) 证明 记 n pn = n ,则 B(k;n, n p )= n k n k pn p k n − − (1 ) = n k n k n n n n n − − − + 1 k! ( 1)…(n - k 1) n k n k n k n n n − − − = − 1 n k -1 … 1- 2 1 1 1 ! 对于一个固定的 k,显然有 n k n n = − → 1 lim − − → → = = − − e n n n n n k n n n n n n 1 1 lim lim 还有 1 n k -1 … 1- 1 1 lim = − n→ n 从而 − → = e k b k n p k n n ! lim ( ; , ) 对于任意的 k(k=0,1,2, …)成立,定理得证. 这个定理有什么作用呢?首先,它可以用来作近似计算.在二项分布中,要计算 b(k;n,p)= n k n k pn p k n − − (1 ) ,当 n 和 k 都比较大时,计算量是令人烦恼的,如果这时 np 不太大(即 p 较 小),那么由普哇松定理就有 b(k;n,p) − e k k ! (2.14) 其中λ=np,而要计算 − e k k ! ,有专用的普哇松分布表可查,这就方便多了
例2.5已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的 人数超过5的概率多大？ 解设该单位患有这一种疾病的人数为ξ，则 r三g=-营4m同 种0a0on网a0PO9妙9这是直装封家.计家线限大自于 n很大，p很小，这时 np=5000×0.001=5 不很大，可以利用上述普哇松定.取λ=n=5,由(2.14)式就有 P(5>5)=1-P(5≤5) 查普哇松分布表可得 2e*0616 于是 P(E>5)≈1-0.616=0.384 在上述例子中，由于即不太大，我们利用了普哇松定理作近似计算，比较方便地解 决了问愿。细心的读者也许要问，如果也很大时怎么办呢？我们将在第四章中讨论这个 问题。由普哇松定理，还可以说明前述的电话呼唤次数，来到公共汽车站的乘客人数等变量 5为什么可以用普哇松分布来描述。作为一个例子，我们现在来解释在一群母鸡的年产蛋量 (是一个随机变量)可以用普哇松分布来描述。可以设想，把一年时间分成n等份，取 充分大，每一个等分的间隔△t=1/m就很小，于是在时间间隔△t内，母鸡下一个蛋，或者 一个也不下。如果在一个时间间隔内下一个蛋的概率是P,并且在各个时间间隔内是否下蛋 假定是相互独立的，迪时就构成了 一个贝努里概型，于是这一年内下k个蛋概率就是 b(k;n,p),再利用上述的普哇松定理可得 b(k:n.p) 和et ，k0,1,2… (其中入=np,由此可知 ,母鸡的年产蛋量5的确可以用普哇松分布来描述。类似的问题在生 物学中可以说是比比皆是，这充分说明了概率论与数理统计在生物学中是有广泛的应用的 如同“母鸡下蛋的”的论证，可以说明一家商店（每月）出售某种（非紧张）商品的件数ξ 也是可以用普哇松分布来描述的，知道了这一点又有什么用呢？不妨来研究一下下面的问 。 一家商店采用科学管理。为此，在每一个月的月底要制订出下一个月的商品进货计划。 为了不使商店的流动资金积压，月底的进货不宜过多，但是为了保证人民的生活需要和完成 每月营业额，进货又不应该太少！这样的矛盾怎么才能合理的解决呢？那就请看下面的例子。 例2.6由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数入=10的普 哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少？
例 2.5 已知某种疾病的发病率为 1/1000,某单位共有 5000 人,问该单位患有这种疾病的 人数超过 5 的概率多大? 解 设该单位患有这一种疾病的人数为ξ,则 P(ξ>5)= = = = = 5000 6 5000 6 1000 1 (ξ k) ;5000, k k p b k 其中 b(k;5000,0.001)= k k k − 5000 0.001 0.999 5000 这时如果直接计算 p(ξ>5),计算量很大.由于 n 很大,p 很小,这时 np=5000×0.001=5 不很大,可以利用上述普哇松定.取λ=np=5,由(2.14)式就有 P(ξ>5)=1-P(ξ≤5) ≈1- 5 5 0 ! 5 − = e k k k 查普哇松分布表可得 0.616 ! 5 5 5 0 − = e k k k 于是 P(ξ>5) ≈1-0.616=0.384 在上述例子中，由于 np 不太大，我们利用了普哇松定理作近似计算，比较方便地解 决了问题。细心的读者也许要问，如果 np 也很大时怎么办呢？我们将在第四章中讨论这个 问题。由普哇松定理，还可以说明前述的电话呼唤次数，来到公共汽车站的乘客人数等变量 ξ为什么可以用普哇松分布来描述。作为一个例子，我们现在来解释在一群母鸡的年产蛋量 （是一个随机变量）可以用普哇松分布来描述。可以设想，把一年时间分成 n 等份，取 n 充分大，每一个等分的间隔△t=1/n 就很小，于是在时间间隔△t 内，母鸡下一个蛋，或者 一个也不下。如果在一个时间间隔内下一个蛋的概率是 p，并且在各个时间间隔内是否下蛋 假定是相互独立的，迪时就构成了一个贝努里概型，于是这一年内下 k 个蛋概率就是 b(k;n,p),再利用上述的普哇松定理可得 b(k;n,p) − e k k ! ，k=0,1,2, … (其中λ=np),由此可知，母鸡的年产蛋量ξ的确可以用普哇松分布来描述。类似的问题在生 物学中可以说是 比比皆是，这充分说明了概率论与数理统计在生物学中是有广泛的应用的。 如同“母鸡下蛋的”的论证，可以说明一家商店（每月）出售某种（非紧张）商品的件数ξ 也是可以用普哇松分布来描述的，知道了这一点又有什么用呢？不妨来研究一下下面的问 题。 一家商店采用科学管理。为此，在每一个月的月底要制订出下一个月的商品进货计划。 为了不使商店的流动资金积压，月底的进货不宜过多，但是为了保证人民的生活需要和完成 每月营业额，进货又不应该太少！这样的矛盾怎么才能合理的解决呢？那就请看下面的例子。 例 2.6 由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数λ=10 的普 哇松分布来描述,为了以 95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进某种商品多少?
解设该商店每月销售某种商品ξ件，月底的进货为ā件，则当（ξ≤）时就不会脱销，因 而按题意要求为 P(≤a)≥0.95 因为已知ξ服从入=10的普哇松分布，上式也就是 n 由普哇松分布表知 es0916<05 片10 和e009513095 510 于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件假定上个月没有存货)，就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月内不会脱销
解 设该商店每月销售某种商品ξ件,月底的进货为 a 件,则当(ξ≤a)时就不会脱销,因 而按题意要求为 P(ξ≤a)≥0.95 因为已知ξ服从λ=10 的普哇松分布,上式也就是 10 0 ! 10 − = e k a k k ≥0.95 由普哇松分布表知 0.9166 0.95 ! 10 10 14 0 − = e k k k 10 15 0 ! 10 − = e k k k ≈0.9513>0.95 于是,这家商店只要在月底进货某种商品 15 件(假定上个月没有存货),就可以 95%以上的把握 保证这种商品在下个月内不会脱销