第六章线性空间 1线性空间的定义简单性质 敦学目的：让学生掌握线性空间的意义，每一个同学都可在一个线性空间里做点工作 教学方法：从举实例开始，阐述线性空间的意义，让学生明了线性空间是客观存在，不是空中楼阁 教学内容： I.V是一个非空集合，V中一定有元素并确定在一个数域P上 Ⅱ.在V中元素之间定义一个加法运算，且满足四则规则： 1).a+8=B+a 2(a+B)+Y=a+(B+Y) 3).在V中有一个元素0，对于y中任一元素a,都由 a+0=a 4).对于V中每一个元素a,都有V中元素B,使得 a十B=0 《B为的在数。与合Y价元之还定了一种运，叫喷法，说对于中 任一个数k与v中任一元素，在v中都有唯一的一个元素6与它们对应，称为k与a的数量乘积，证为 6=ka. V.数量乘积满足下面两条规则： 5).1a=a 6).k(1a)=(k1)a V.数量乘积法与加法满足下面两条规则： 7).(k+1)a=ka+1a 8)k a+8 =k atk8 在以上规则中，k,1等表示数域p中的任意数，a,B,工，等表示集合V中任意元素 如果中的加法与P与V中的向量的数量乘法满足上述八条规则， 则V是数域P上的一个向量空间 VII.线形空间的一些简单性质 (1)零元素是唯一的，记为0 (2)负元素是唯一的，、a+B-0,B记为a (3)0a=0,k0=0,(-1)a=-a 布置作业：P267.1.2.3.(2)(4)(6)(8).4
第六章 线性空间 §1 线性空间的定义简单性质 教学目的: 让学生掌握线性空间的意义,每一个同学都可在一个线性空间里做点工作. 教学方法: 从举实例开始,阐述线性空间的意义,让学生明了线性空间是客观存在,不是空中楼阁. 教学内容: Ⅰ. V 是一个非空集合,V 中一定有元素,并确定在一个数域 P 上. Ⅱ.在 V 中元素之间定义一个加法运算,且满足四则规则: 1).α＋β=β＋α 2).(α＋β)＋γ=α＋（β＋γ） 3).在 V 中有一个元素 O，对于 V 中任一元素α，都由 α＋O=α 4).对于 V 中每一个元素α，都有 V 中元素β，使得 α＋β=0 （β称为α的负元素）。 Ⅲ.在 V 中，在数域 p 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，或者说对于数域 p 中 任一个数 k 与 v 中任一元素 a，在 v 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称为 k 与α的数量乘积，证为 δ=kα. Ⅳ. 数量乘积满足下面两条规则： 5). 1α=α 6). k（lα）=（kl）α V . 数量乘积法与加法满足下面两条规则： 7).（k+l）α=kα+lα 8). k（α+β）=kα+kβ 在以上规则中，k,l 等表示数域 p 中的任意数，α, β,r,等表示集合 V 中任意元素 VI . 如果 v 中的加法与 P 与 V 中的向量的数量乘法满足上述八条规则， 则 V 是数域 P 上的一个向量空间 VII. 线形空间的一些简单性质 (1)零元素是唯一的，记为 0 (2)负元素是唯一的，、α+ β=0, β记为-α (3) 0α=0,k0=0,（-1）α=-α 布置作业：P267.1.2.3.（2）（4）（6）（8）.4
Ch6S2维数基和坐标 教学目的：让学生掌握向量空间中的向量的线性相关性，以及向量的相关性与向量空间 中的一组基之间的关系 教学手段：()采用实例引入向量的线性相关无关的概念 (2)提问学生几个向量相关的问题 教学内容：I.单个向量a是线性相关的充分必要条件是ā-0 Ⅱ.一组向量a1.,am(≥2)线性相关的充分必要条件是其中有一个向量为其余向量线性表 Ⅲ如果向量组@，a,线性无关且可被向量组B,.B,线性表出，那么≤ V.两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量。 V如果向量组一组向量a1,四，“，a,线性无关，但向量组一组向量a4.,,arB线性相关，那么阝 可经a1,a2,一a,线性表出且表示法是唯一的. 在以上五个简短结论的基础上，建立向量空间维数的概念，并且确定本书只研究有限维向量空间，无限向量 空间是一个专门研究的对等 有了维数概念，引出向量空间一组基以及任一个向量在这组基下的坐标由此，我们引出一系列的向量空间 的结论. 上聚在向量空间V中有个线性无关的向最心“。且V中任一个向量都可经它们线性表出那 么V是n维的，而 由此推出，V中任意一组n个线性无关的向量也可以充当它的一组基；任意+1个向量必定线性无关 布置作业P268.7(1).8(3)4)9(1)10
Ch6§2 维数基和坐标 教学目的: 让学生掌握向量空间中的向量的线性相关性,以及向量的相关性与向量空间 中的一组基之间的关系. 教学手段: (1)采用实例引入向量的线性相关`无关的概念 (2)提问学生几个向量相关的问题 教学内容: Ⅰ.单个向量α是线性相关的充分必要条件是α=0 Ⅱ.一组向量 α1, α2 , …, α n (n≥2)线性相关的充分必要条件是其中有一个向量为其余向量线性表 出. Ⅲ.如果向量组 α1, α2 , …, α r 线性无关,且可被向量组 β1, β2, …, β s 线性表出,那么 r≤s. Ⅳ.两个等价的线性无关的向量组,必定含有相同个数的向量. Ⅴ.如果向量组一组向量 α1, α2 , …, α r 线性无关,但向量组一组向量 α1, α2 , …, α r , ,β 线性相关,那么 β 可经 α 1, α 2 , … ,α r线性表出,且表示法是唯一的. 在以上五个简短结论的基础上,建立向量空间维数的概念,并且确定本书只研究有限维向量空间,无限向量 空间是一个专门研究的对象. 有了维数概念,引出向量空间一组基以及任一个向量在这组基下的坐标.由此,我们引出一系列的向量空间 的结论. 定理 1. 如果在向量空间 V 中有 n 个线性无关的向量 α1, α2, … ,α n 且 V 中任一个向量都可经它们线性表出,那 么 V 是 n 维的,而 α1, α2 , …, α n 就是 V 的一组基. 由此推出,V 中任意一组 n 个线性无关的向量也可以充当它的一组基;任意 n+1 个向量必定线性无关 布置作业: P268. 7(1). 8(3)(4) 9(1) 10
Ch6§3基变换与坐标变换 教学目的：让学生掌握一个向量空间有不同的基那么两组基之间有一个可逆的过渡矩阵，从这个意义上出发， 了解一个向量在两组基之间的联系情况 教学手段一般矩阵的元素都是数哉P的数此时我们用向量空间中的向量来代替数域P里的数，然后用此向 量与一般矩阵相乘，相乘的规则依旧，自然这是形式上采用这种办法，目的解决向量空间的两组基之间 的渭过渡矩阵的问题 教学内容 ataa.a.】 (pp.“n)=(,“8n) aa…a aaa…am 矩阵 A- aaa…as 到基 1。的过渡矩阵，它是可逆的 (a,2.“an）A)B-(a,,an)(AB) (ai,a2.a)A)+(ai,az.an)B=(ai,@z.a)(A+B) (ai,)A+(B:B2-B)A=(a+Bi,+B2an+B)A Ⅲ，这就是所谓向量§在两组基下的坐标变换公式 布置作业P269.91.10.P271.1.(12.2.3
Ch6§3 基变换与坐标变换 教学目的: 让学生掌握一个向量空间有不同的基,那么两组基之间有一个可逆的过渡矩阵,从这个意义上出发, 了解一个向量在两组基之间的联系情况. 教学手段 一般矩阵的元素都是数哉 P 的数,此时我们用向量空间中的向量来代替数域 P 里的数,然后用此向 量与一般矩阵相乘,相乘的规则依旧,自然这是形式上采用这种办法,目的解决向量空间的两组基之间 的渭过渡矩阵的问题. 教学内容: Ⅰ. ( η1 ,η2, … ,η n ) ＝( ε1, ε2, …,ε n ) n n n n n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 矩阵 A== n n n n n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 称为由基 ε1 ,ε2, …, ε n 到基 η1, η2, …, η n 的过渡矩阵,它是可逆的 Ⅱ. 上述Ⅰ.的写法有一些运算规则. ((α1, α2,…α n) A)B=(α1, α2,…α n)( AB) (α1, α2,…α n) A)+ (α1, α2,…α n) B=(α1, α2,…α n)( A+B) (α1, α2,…α n) A+(β1 β2 …β n)A=(α1+β1, α2+β2, …α n+β n)A Ⅲ. 这就是所谓向量§在两组基下的坐标变换公式 布置作业: P269. 9(1). 10 . P271. 1.(1)(2). 2. 3
Ch6§4线性子空间 教学目的：让学习明嘛山由向量空间的子空间来了解向量空间的某个特性 学习要求：生成子空间：在一个子空间上扩充向量，从而组成向量空间V的新的向量子空间. 散学内容 上向量空间V的一个非空子集W组成V的一个子空间的条件： (3)0∈W (4)a∈W,-a∈W Ⅱ：任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数 ：，，“，a∈V那么 L(a.@.)=(+K2@++EP i=1.2.7) 称为由al,2,四生成的子空间，即V的一个子空间包含了，，那么就一定包含它们所有的线性组合， 也就是说一定包含L(a1,“u)作为子空间. Ⅳ：两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价 V:L(a.c a)的维数等于向量组a,,a的秩。 I:设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，@a,,a,为W的一组基，那么这组向量 必定可扩充为整个空间的一组基，也就是说，在V中必定可以找到nm个向量am+1,a2,a,使得 a,2,a是V的一组基.证明这个结论的时候采取对维数差n-m作数学归钠法 布置作业P269.12.13,14,15,16,17 Ch6.S5子空间的交与和 教学目的：让学生掌握子空间的两种运算：交与和
Ch6 §4 线性子空间 教学目的: 让学习明嘹山由向量空间的子空间来了解向量空间的某个特性. 学习要求: 生成子空间;在一个子空间上扩充向量,从而组成向量空间 V 的新的向量子空间. 教学内容: I:向量空间 V 的一个非空子集 W 组成 V 的一个子空间的条件: (1) α ∈ W, K∈P, so kα∈ W (2) α, β ∈W , so α+β ∈W (3) O ∈W (4) α∈W , －α ∈ W Ⅱ:任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数. Ⅲ: α1,α2, …,αr ∈V,那么 L (α1,α2, …,αγ) = {κ1α1+κ2α2+ …+κγαγΙ κί ∈Ρ ί=1.2,…,γ} 称为由 α1,α2,…,αγ 生成的子空间,即V 的一个子空间包含了 α1,α2, …,αγ,那么就一定包含它们所有的线性组合, 也就是说一定包含 L(α1,α2, …,αγ)作为子空间. Ⅳ:两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价. Ⅴ: L(α1,α2,…,αr)的维数等于向量组 α1,α2,…,αr的秩. Ⅵ:设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间, α1,α2,…,αn为 W 的一组基,那么这组向量 必定可扩充为整个空间的一组基,也就是说,在 V 中必定可以找到 n-m 个向量 αm+1, αm+2,``````, αn,使得 α1,α2,…,αn 是 V 的一组基.证明这个结论的时候采取对维数差 n-m 作数学归纳法 布置作业: P269. 12. 13,14,15,16,17 Ch6 . §5 子空间的交与和 教学目的: 让学生掌握子空间的两种运算:交与和
教学方法：采用集合论中相等的两个集合互相包含的方法 教学内容 I.如果V,V2是线性空间v的两个子空间，那么它们的交V∩V2也是 V的子空间，但是它们的并VUV2未必是V的子空间，并举出反例说明之 Ⅱ子空间的交运算适合下列运算规律， VnV:=V2nV(交换律) (Vnv)nV=Vin(VinV2)(结合律) 由结合律，我们可以定义多个子空间的交： vnvn"nv,=∩y 它也是V的一个子空间. Ⅲ如果V1,V2是V的两个子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间， V.子空间的和适合下列运算规律： V1+V2=V2+V,(交换律) (N+V2rV,=V,+V2+V结和律) 由结合律，我们可以定义多个子空间的和 V+V2++Vs=∑n 它是由 (ai+a2++as laiEVi,i=1,2,",s} ,组成的子空间 V关于两个空间的交与和的维数，有下面的维数公式 维(V+维(V2)维V+V2+维VnV2) 证明此结论，注意由nV的一组基©，ae出发扩充成V的一组基 c1,a2 am,B1,B2.Bnt-m 也可以扩充成V2的一组基 C1,02 dm.Y1.Y2.".Yn2-m 然后证明 1,2…am,B1,,a1-my1,2,…3a2-m 组成V+V2的一维基 I如果n维线性空间V中两个子空间V,V2的维数之和大于n那么V1,2必含有非零的公共 向量
教学方法: 采用集合论中相等的两个集合互相包含的方法. 教学内容: Ⅰ.如果 V1,V2是线性空间 v 的两个子空间,那么它们的交 V1∩V2也是 V 的子空间,但是它们的并 V1UV2 未必是 V 的子空间,并举出反例说明之. Ⅱ子空间的交运算适合下列运算规律: V1∩V2 = V2∩V1 (交换律) (V1∩V2) ∩V3= V3∩(V1∩V2) (结合律) 由结合律,我们可以定义多个子空间的交: V1∩V2∩ …∩Vs＝ i s i v =1 它也是 V 的一个子空间. Ⅲ 如果 V1,V2 是 V 的两个子空间,那么它们的和 V1+V2 也是 V 的子空间. Ⅳ. 子空间的和适合下列运算规律: V1+V2=V2+V1 (交换律) (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)(结和律) 由结合律,我们可以定义多个子空间的和 V1+V2+…+VS== s i Vi 1 它是由 ｛α 1+α 2+ …+α s︱α i∈V i, i =1,2,…,s｝ ,组成的子空间. Ⅴ.关于两个空间的交与和的维数,有下面的维数公式 维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2) 证明此结论,注意由 V1∩V2 的一组基 α1,α2````αm出发,扩充成 V1 的一组基 α1, α2```` α m , β1, β2 , … ,βn1-m 也可以扩充成 V2 的一组基 α1, α2```` α m , γ1, γ2 , … ,γn2-m 然后证明 α1, α2```` α m , β1, β2 , … ,βn1-m, γ1, γ2 , … ,γn2-m 组成 V1+V2 的一维基. Ⅵ.如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1,V2 的维数之和大于 n,那么 V1,V2 必含有非零的公共 向量
