第八章常微分方程数值解
1 第八章 常微分方程数值解
微分方程数值解 ■在科学研究或工程领城中，有许多数学模型都是通过 微分方程来描述的，求解微分方程是非常重要的、关 键的问题 ■微分方程按自变量的个数可分为： ●常微分方程 ●偏微分方程 ■微分方程按定解条件可分为： ●初值问题 ●边值问题
微分方程数值解 在科学研究或工程领域中，有许多数学模型都是通过 微分方程来描述的，求解微分方程是非常重要的、关 键的问题 微分方程按自变量的个数可分为： ⚫ 常微分方程 ⚫ 偏微分方程 微分方程按定解条件可分为： ⚫ 初值问题 ⚫ 边值问题 2
微分方程数值解 ■研究微分方程解析解的学科：数学物理方程，但是绝 大部分的微分方程是没有解析解的 ·数值求解微分方程没有统一的算法，针对不同类型的 微分方程，需要设计特定的算法 ■ 目前，研究数值求解微分方程的方法是热门的课题， 正在迅速发展之中，常见的方法： ●有限差分法 ●有限元方法 ●有限体积法 ●边界元方法 ●谱方法 ● 3
微分方程数值解 研究微分方程解析解的学科：数学物理方程，但是绝 大部分的微分方程是没有解析解的 数值求解微分方程没有统一的算法，针对不同类型的 微分方程，需要设计特定的算法 目前，研究数值求解微分方程的方法是热门的课题， 正在迅速发展之中，常见的方法： ⚫ 有限差分法 ⚫ 有限元方法 ⚫ 有限体积法 ⚫ 边界元方法 ⚫ 谱方法 ⚫ … 3
微分方程数值解 1958 ■常微分方程的初值问题： =f(x.),xela dx y(a)=yo ·为了使解存在雅一，一般需要对函数f(x,y)加限制条 件 ■（初值问题解的存在唯一性）若函数f(x,y)在条带 a≤x≤b,-oo<y<oo上连续，且满足Lipschitz条件， 即f(x,)-f(x,2≤L以-y2,则初值问题的解在区间 [a,b]上存在且雅一
微分方程数值解 常微分方程的初值问题： 为了使解存在唯一，一般需要对函数 加限制条 件 （初值问题解的存在唯一性）若函数 在条带 上连续，且满足Lipschitz条件， 即 ，则初值问题的解在区间 上存在且唯一 4 = = 0 ( ) ( , ) , [ , ] y a y f x y x a b dx dy f x y ( , ) 1 2 1 2 f x y f x y L y y ( , ) ( , ) − − f x y ( , ) a x b y − , [ , ] a b
微分方程数值解 ■ 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法 直接对函数进行运算 ■常微分方程的数值解采用数值离散的方法，即在一系 列离散点列上，求未知函数在这些点上函数值的近似 ■基本步骤如下： (1)对区间进行分割：△，：a=x。<x1<…<xm=b(即对 函数定义城进行离散)，目标是求解{y,=y(x)}的值 (2)对微分方程进行离散，建立关于{y}的方程，一 般要求满足：解的存在雅一性、稳定性、收敛性、相 容性 (3)解关于{y}方程，求出{y}的值 5
微分方程数值解 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法 直接对函数进行运算 常微分方程的数值解采用数值离散的方法，即在一系 列离散点列上，求未知函数在这些点上函数值的近似 基本步骤如下： （1）对区间进行分割： （即对 函数定义域进行离散），目标是求解 的值 （2）对微分方程进行离散，建立关于 的方程，一 般要求满足：解的存在唯一性、稳定性、收敛性、相 容性 （3）解关于 方程，求出 的值 5 I : a = x0 x1 xm = b { ( )} i i y y x = { }i y { }i { } yi y
微分方程数值解 ■主要问题： ●如何对定义域进行离散？ ●如何对微分方程进行离散？ ●收敛性问题，即步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解 ●误差估计 ·稳定性问题，即舍入误差在以后各步的计算中，是否会无限制扩大 ●计算效率 ·并行计算 6
微分方程数值解 主要问题： ⚫ 如何对定义域进行离散? ⚫ 如何对微分方程进行离散？ ⚫ 收敛性问题，即步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解 ⚫ 误差估计 ⚫ 稳定性问题，即舍入误差在以后各步的计算中，是否会无限制扩大 ⚫ 计算效率 ⚫ 并行计算 ⚫ …… 6
Euler公式 ■ 对定义域[a,b]作等距剖分，即 :a h=5-a.1=0.1..m m ■向前差商公式 -x)=y'(x)+3y"5) h y'=fu,以 y(b) h y(a)=a WN x)-=fx,x》+2"5) ）=+》+行) W2 →y+1=y+hf(x,y,) =a ,,1x=b 7
Euler公式 对定义域 作等距剖分，即 向前差商公式 7 [ , ] a b : , , 0,1, , I i b a x a hi h i m m − = + = = 1 1 2 1 1 ( ) ( ) '( ) ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 ( , ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x y x h y x y h y x y x h f x y x y h h y x y x hf x y x y y y hf x y + + + + − = + − = + = + + = +
Euler公式 定义：在假设第步计算是精确的前提下，考虑载断误 差T1=y(x)-y1,称T+1为局部载断误差。若T=O(hP) ，则称方法是卫阶相容的，简称相容 ■向前差商公式的局部载断误差： T+1=y(x+1)-y+ h2 =x)+f(,x》+2"5)- h2 =x)+f(x(x》+2y"5)--f(x》 h2 =2) =0(h2) 8
Euler公式 定义：在假设第 步计算是精确的前提下，考虑截断误 差 ，称 为局部截断误差。若 ，则称方法是 阶相容的，简称相容 向前差商公式的局部截断误差： 8 i 1 1 1 ( ) T y x y i i i + + + = − Ti+1 1 1 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( , ( )) ''( ) ( , )) 2 ''( ) 2 ( ) i i i i i i i i i i i i i i i i T y x y h y x hf x y x y y h y x hf x y x y y hf x y h y O h + + + + = − = + + − = + + − − = = 1 1 ( ) p T O h i + + = p
Euler公式 整体载断误差和收敛性：考虑局部载断误差的积果和 传播 e=y(x)- y(x)+hGx》+2")-片-(x,y ≤y(x,)-y+hf(x,y(x)》-f(x,y+T ≤le,+hLy(x)-y+|Tl s(1+hL)e,+T,T=max T, ≤(1+hL)(1+hL)e+T）+T =(1+hL)2le,+(1+hL)+1)T ≤(1+hL)2(1+hL)le,-2+T）+(1+hL)+1)7 =(1+hL)3le-2+(1+hL)2+(1+hL)+17 9
Euler公式 整体截断误差和收敛性：考虑局部截断误差的积累和 传播 9 ( ) 1 1 1 2 1 1 1 ( ) | ( ) ( , ( )) ''( ) ( , )) | 2 ( ) ( , ( )) ( , ) ( ) (1 ) , max (1 ) (1 ) (1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i j j i e y x y h y x hf x y x y y hf x y y x y h f x y x f x y T e hL y x y T hL e T T T hL hL e T T + + + + + − = − = + + − − − + − + + − + + + = + + + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 2 2 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 i i i hL e hL T hL hL e T hL T hL e hL hL T − − − + + + + + + + + + = + + + + + +
Euler.公式 ■整体截断误差和收敛性： ≤… ≤(1+hL)e+(1+hL)'+…+(1+hL)+1)T =+y"e小+二+7 1-(1+hL) ≤1+hg,++h"7 hL ≤+"（+a) 是1阶方法 sew{+)}set(a*冠) 当a=00对，7=o)→e[+)>0,即Euler公式 是收敛的 10
Euler公式 整体截断误差和收敛性： 当 时， ，即Euler公式 是收敛的 10 ( ) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 ( 1) ( ) 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) i i i i i i i i hL b a L hL e hL hL T hL hL e T hL hL hL e T hL T hL e hL T T e e e e hL hL + + + + + + + − + + + + + + + − + = + + − + + + + + + + + 0 e h = → 0, 0 2 ( ) 0 ( ) 0 b a L T T O h e e hL − = + → 是1阶方法