计算方法 傅孝胡 第九华适数调 近 计算方法 傅孝明管理科研楼1207室1 E-mail:fuxm@ustc.edu.cn 1数学科学学院中国科学技术大学 4口4①424是2)00 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 . . . . . . . . 计算方法 傅孝明 管理科研楼 1207 室 1 E-mail: fuxm@ustc.edu.cn 1 数学科学学院 中国科学技术大学 傅孝明 计算方法
函数逼近 计算方法 博季明 函数逼近问题 如何寻找简单的函数(x)去近似地代替一个复杂的函数 第九草函致逼 近 x),其中近似代替又称为通近，函数x)和P(x)分别称为被 逼近和通近函数 近 生最字方正 正通式 到6适的面回 函数逼近目的 生 ■使得一些常用的操作，譬如函数求值、微分甚至积分，可 期性重六装式 以变得更容易执行 业卫线 ■利用函数的部分信息，譬如函数值表，重建或恢复一个函 数 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . 函数逼近 . 函数逼近问题 . . 如何寻找简单的函数 φ(x) 去近似地代替一个复杂的函数 f(x), 其中近似代替又称为逼近, 函数 f(x) 和 φ(x) 分别称为被 逼近和逼近函数. . 函数逼近目的 . . 使得一些常用的操作, 譬如函数求值、微分甚至积分, 可 以变得更容易执行. 利用函数的部分信息, 譬如函数值表, 重建或恢复一个函 数. 傅孝明 计算方法
函数逼近 计算方法 傅孝胡 第九草函数通 近 子重正的地过 例9.1 近 在区间【-1,1上，确定具有最低次数的多项式p(x)使得 王变事级其 p(x)-arccos((x川≤l0-7成立.更一般地，给定函数fx)和正 平才重丘与电城立 此主到 数e,确定多项式p(x),使在区间[a,b上有p(x)-x)川≤e. s童性一到通正学 仕雪请式 鱼重正提 4口4①43+4是2)00 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . 函数逼近 . 例 9.1 . . 在区间 [−1, 1] 上, 确定具有最低次数的多项式 p(x) 使得 |p(x) − arccos(x)| 6 10−7 成立. 更一般地, 给定函数 f(x) 和正 数 ε, 确定多项式 p(x), 使在区间 [a, b] 上有 |p(x) − f(x)| 6 ε. 傅孝明 计算方法
函数逼近 计算方法 博孝明 例92 第九草函致逼 通过观察或测量函数x)得到一组离散数据： 近 {,》|i=1,2,n 近 生最特字方正 正通式 在函数空间④=span{p(x)|j=1,2,.,m中选择 到6适的面回 生销 ,=∑，)使得逼近误差最小，即 址一理正 期性重六装式 业卫线 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . 函数逼近 . 例 9.2 . . 通过观察或测量函数 f(x) 得到一组离散数据: {(xi , yi ) | i = 1, 2, . . . , n}, 在函数空间 Φ = span{φi(x) | j = 1, 2, . . . , m} 中选择 φ(x) = ∑m j=1 cjφj(x) 使得逼近误差最小, 即 min φ∈Φ ∑n i=1 yi − φ(xi) 2 = min c1,c2,··· ,cm∈R ∑n i=1 yi − ∑m j=1 cjφj(xi) 2 . 傅孝明 计算方法
§9.1.1赋范线性空间 计算方法 傅孝胡 第九华适数调 近 在逼近问题中几乎都涉及到从一个集合中选择一个元素，使 位1正月数的温正 它在某种意义上接近该集合外的一个预先给定的元素.因此 近 若要确切的描述逼近问题，需要明确两个元素之间的距离是 王变事级其 如何度量的， 年才重丘与电城立 主到 s童性一到通正学 在统一的框架下描述逼近问题，引入赋范线性空间， 货壮雪手装天 重正提 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.1 赋范线性空间 在逼近问题中几乎都涉及到从一个集合中选择一个元素, 使 它在某种意义上接近该集合外的一个预先给定的元素. 因此, 若要确切的描述逼近问题, 需要明确两个元素之间的距离是 如何度量的. 在统一的框架下描述逼近问题, 引入赋范线性空间. 傅孝明 计算方法
§9.1.1赋范线性空间 计算方法 博季雨 定义9.1 第九单运数通 近 设集合'是实数域R上的线性空间，如果'中任意一个元素 银1S是的速证 ∫都按某一法则对应一个实数，记作儿，并且它满足下列条 近 件 正事通式 (1)正定性：/≥0，f∈片：/川=0当且仅当f=0成立； 到6活面销面出 (2)齐次性：‖cf=clf川l,c∈R,f∈： (3)三角不等式：f+g≤川+g,近g∈V. 期性重六装式 上述对应关系可视为V,R的映射，称为线性空间V的范 数，并简记为‖·‖定义了范数的线性空间称为藏范线性空间 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.1 赋范线性空间 . 定义 9.1 . . 设集合 V 是实数域 R 上的线性空间, 如果 V 中任意一个元素 f 都按某一法则对应一个实数, 记作 ∥f∥, 并且它满足下列条 件: (1) 正定性: ∥f∥ > 0, ∀f ∈ V; ∥f∥ = 0 当且仅当 f = 0 成立; (2) 齐次性: ∥cf∥ = |c|∥f∥, ∀c ∈ R, ∀f ∈ V; (3) 三角不等式: ∥f + g∥ 6 ∥f∥ + ∥g∥, ∀f, g ∈ V. 上述对应关系可视为 V → R 的映射, 称为线性空间 V 的范 数, 并简记为 ∥ · ∥. 定义了范数的线性空间称为赋范线性空间. 傅孝明 计算方法
§9.1.1赋范线性空间 计算方法 例9.3 傅孝胡 记R”为n维线性空间，在R”中定义 第九继画 近 x2=(++…+)2，收=1,2，…，x)eR" 位1正月题的温正 易验证‖·2满足条件(1)~(3).因此，R”按‖·2构成一赋范线性空间 近 另外，不难验证R”还可按如下范数 王变事级其 平打面丘与电情立 ll=x+x2l+…+knl,i=(x1,x2,…xn)I∈R”, 主到 银童止一进通正多 lxe=max{xl,x2l,…,xnl},x=(x1,x2,…,xn)∈R" 认货壮雪多装天 分别构成不同的赋范线性空间.更一般地，在R”中定义 业重正提 Ixlp=(P+x2P+…+xnP)P,次=(x1,2,…,xn)TeR, 构成向量x的p范数，前面的范数分别对应p=1,2,o©的情形 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.1 赋范线性空间 . 例 9.3 . . 记 R n 为 n 维线性空间, 在 R n 中定义 ∥x∥2 = ( x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n )1/2 , ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n . 易验证 ∥ · ∥2 满足条件 (1) ∼ (3). 因此, R n 按 ∥ · ∥2 构成一赋范线性空间. 另外, 不难验证 R n 还可按如下范数 ∥x∥1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn|, ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n , ∥x∥∞ = max{|x1|, |x2|, · · · , |xn|}, ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n , 分别构成不同的赋范线性空间. 更一般地, 在 R n 中定义 ∥x∥p = (|x1| p + |x2| p + · · · + |xn| p ) 1/p , ∀x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ R n , 构成向量 x 的p-范数, 前面的范数分别对应 p = 1, 2, ∞ 的情形. 傅孝明 计算方法
§9.1.1赋范线性空间 计算方法 博季胡 例9.4 第九单运数通 近 记Ca,b为区间a,b]上连续函数的全体，按通常的函数加 银1S是的速过 法与数乘运算构成线性空间.在C[a,b)中定义 近 正通式 lo=max If(x),1f∈C[a,b. 到6适销面回 生 易验证‖·‖~满足条件(1)~(3).因此，C[a,b1按‖·lo构 期性重六装式 成一赋范线性空间，范数‖·‖o称为一致范数或Chebyshev 卫数 范数 4口，g1三，于2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.1 赋范线性空间 . 例 9.4 . . 记 C[a, b] 为区间 [a, b] 上连续函数的全体, 按通常的函数加 法与数乘运算构成线性空间. 在 C[a, b] 中定义 ∥f∥∞ = max a6x6b |f(x)|, ∀f ∈ C[a, b]. 易验证 ∥ · ∥∞ 满足条件 (1) ∼ (3). 因此, C[a, b] 按 ∥ · ∥∞ 构 成一赋范线性空间, 范数 ∥ · ∥∞ 称为一致范数或 Chebyshev 范数. 傅孝明 计算方法
§9.1.1赋范线性空间 计算方法 博孝胡 第九华适数调 例9.5 位1正月数的温正 记C[a,b为区间[a,b上r次连续可微函数的全体.定义 近 C[a,b的范数 王变事级其 平打面丘与三电情立 lfoo max. {x,/x,…,⊙x} Vfe Cla,b]. 此主到 xEla,b s童性一到通正学 货壮雪手装天 显然，C[a,]是C[a,b的一个特殊情形 重正提 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.1 赋范线性空间 . 例 9.5 . . 记 C r [a, b] 为区间 [a, b] 上 r 次连续可微函数的全体. 定义 C r [a, b] 的范数 ∥f∥∞ = max x∈[a,b] { |f(x)|, |f ′ (x)|, · · · , |f (r) (x)| } , ∀f ∈ C r [a, b]. 显然, C[a, b] 是 C r [a, b] 的一个特殊情形. 傅孝明 计算方法
§9.1.1赋范线性空间 计算方法 例9.6 博季明 记P[a,b]为区间a,1上所有满足 第九单证数调 6 近 lx)Pdr<+oo,p≥1， 银15超的速过 银过内应首量出 近 的Lebesgue可积函数f构成的函数类(Lebesgue积分是Riemann 生最字方正 正事通式 积分的推广)，因区间[a,b]上所有的连续函数都是Riemann可积 到6适销面回 生 的.故Ca,]cLa,.在P[a,b中定义 期性重六装式 u-(Iwr) fe IPla,b], (1) 卫数 可以证明‖·p是La,b的一个范数.注意，在[a,b中约定：将 几乎处处相等的两个可测函数g视为同一函数。 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.1 赋范线性空间 . 例 9.6 . . 记 L p [a, b] 为区间 [a, b] 上所有满足 ∫ b a |f(x)| p dx 1, 的 Lebesgue 可积函数 f 构成的函数类 (Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广). 因区间 [a, b] 上所有的连续函数都是 Riemann 可积 的, 故 C[a, b] ⊂ L[a, b]. 在 L p [a, b] 中定义 ∥f∥p = (∫ b a |f(x)| p dx )1/p , ∀f ∈ L p [a, b], (1) 可以证明 ∥ · ∥p 是 L p [a, b] 的一个范数. 注意, 在 L p [a, b] 中约定: 将 几乎处处相等的两个可测函数 f, g 视为同一函数. 傅孝明 计算方法