59.2最短路问题 5 S9.2最短路问题 一、最短路问题的数学模型 在网络图中顶点：与：可可以理解为空间位带或时间坐标.也可可以理解为其它意义 下的事件与活动：边上的权可理解为空间距离或时间间隔，也可以理解为活动的经费 能耗等.也就是说。网络最短路的实际意义是广泛的，可以是空间距离上的最短路。也可以 是时间概念上的“最短路”（总时间最少，或者是一系列活动的总经费或总能耗最少. 于是，网络图最短路题的数学模型为：给定图G-(化，E),V={,2,,n小，E {e1,e2,,em}.若图G的每条边e=(e,)都与一个非负实数w(e)=w(,）= 对应则称G为非负赋权图，简称网络，其中(e)称为e的权. 若P为G中至m的路，称 W(P)-∑ 为P的长度，其中E(P)表示P上边的集合 若P为G中至m的路，且满足 W(P*)=min{W(PP为G中1至n的路} 则称P为1至的最短路。 我们的问题就是在图G中如何寻找1至的最短路并求出其长度 最短路问题可以直接应用于解决生产实际，运输管理和工程建设问题，诸如各种管道 的铺设，线路安排设备更新问题等等.例如，现在要铺设从地点到地点2，，，”的 铁路线路。要求铁路必须沿图915所规定的道路铺设.设图中各边的权数表示两点间的 距离，要求选择从到2或，或4，，或的铁路长度最短的铺设方案.又例如，从 原料产地把原料送往各加工厂2,3，，7，如图916各边权数为对应的两点间距离， 要求从1将原料送往各工厂去距离最短的路。 图9-15 图9-16 从上述两个例子可以看出，问题都是要求从”到其它各点距离最短的路，称之为最 短路问题它们分别对应有向网络和无向网络的最短路问题。最短路问题是图论应用的基 本问题之 二、最短路问题的算法 求解最短路问题的算法很多，目前公认的最好算法是由E.W.Dijkstra于199年提出 的，它不仅求出到的最短路，最后所得到的实际上是从始点到各点的最短路。 §9.2 ➹✟➘✟➴✪➷✱➬ 5 §9.2 ➮✃➱✃❐✃❒✃❮ ❰❿➁Ï▼Ð▼➂▼Ñ➄ÒÔÓ➄ÕÔÖ➄×➄Ø ✭✏①✒②✡✟✏✎, ■ ❧ vi ✇ vj ✍❂ ✩❝✡▼◗ ✘✙✟✚❞ï✘✟Ù➃, ✚ ✍❂ ✩❝✡▼❖✡★✓✟Ú ➇❋✤✁Û✁Ü✇⑤✁Ý; ✞ e å ✤✁⑨✍ ✩❝❋▼◗ ✘❺✁❻❞ï✘✁✘✁Þ, ✚ ✍❂ ✩❝❋▼⑤✁Ý✤❄ ➐, ❏✟ß✡❥. ✚ q✡☛♠, ①✒②➈✡➉✡➊✡✤❚✡❯✓✟Ú☛ ✢✡✣✡✤, ✍❂✡☛◗ ✘❺✟❻å ✤✡➈✡➉✡➊, ✚ ✍❂ ☛ï✘❽✡❾å ✤ “➈✡➉✡➊”(àï✘➈→ ), ❞✟❝✡☛✥ ❅➆⑤✟Ý✤✟à❄ ➐❞ à❏✟ß➈→ . ❫✡☛, ①✒②✡✟➈✡➉✡➊❱✡❲✤✡➌✍✡➅✡➆✡▼: ❆ ✄✡✟ G = (V, E),V = {v1, v2, . . . , vn}, E = {e1, e2, . . . , em}. ✢ ✟ G ✤✟✝Ø✟✞ e = (vi , vj ) ❇✡✇✥✡✦✟P✟á❚➌ w(e) = w(vi , vj ) = wi,j ❙ ✘, ❙✟❚ G ▼➢â✟ã✟ä✟å➟, æ✟❚➢ç✟è, ❖ ✎ w(e) ❚ ▼ e ✤ å . ✢ P ▼ G ✎ v1 ➔ vn ✤✡➊, ❚ W(P) = X e∈E(P ) w(e) ▼ P é✟ê✟ë, ❖ ✎ E(P) ➶í P å✟✞✤✟❇✟❈. ✢ P ∗ ▼ G ✎ v1 ➔ vn ✤✡➊, ➟✟➼✟➽ W(P ∗ ) = min{W(P)|P▼ G ✎ v1 ➔ vn ✤✡➊} ❙✟❚ P ∗ ▼ v1 ➔ vn ✤➢ì✟í✟î. ❶✡❷✡✤❱✡❲q✡☛✡✭✡✟ G ✎✳✟❜✟ï✟ð v1 ➔ vn ✤✡➈✡➉✡➊✟ñ✐÷ ❖✟❁✟❂. ➈✡➉✡➊❱✡❲✍❂ ❩✡ê✡✘✡✙❫✡❝✟ò④✡⑥✡❚✡❯, ☞✟③✡❆✩ ✪⑧✟ót❖❱✡❲, ✲✡✳➦ ➂ ❆✟ô õ❹ö❹❖, ÷❹ø❹ù➅ , ❖❹ú❹û❹ü❹ý❹þ❹ÿ❹ÿ. ￾✂✁, ✄✂☎✂✆ö✂✝✂✞✂✟✂✠ v1 ✡✟✂✠ v2, v3, . . . , v7 õ ☛ ø✟÷✟ø, ✆✌☞☛ ø✌✍✌✎✌✏✌✑ 9–15 ✒✌✓✌✔õô ø ö✌✝. ✝ ✑✖✕✘✗✌✙õ✌✚✌✛✌✜✌✢✌✣✤✠✌✥✁õ ✦✌✧, ✆✌☞✌★✌✩✞ v1 ✡ v2 ✪ v3, ✪ v4, . . ., ✪ v7 õ☛ ø✌✫✌✬✌✭✌✮õ✟ö✌✝✌✯✌✰. ✱✌￾✌✁, ✞ ✲✌✳✌✴✌✟ v1 ✵ ✲✌✳✌✶✌✷✗✌✸✌✹✌✺ v2, v3, . . . , v7, ✁✌✑ 9–16 ✗✌✙✚✌✛✌✻✌✼✌✽✟õ✌✣✌✠✌✥✦✌✧, ✆✌☞✞ v1 ✾ ✲✌✳✌✶✌✷✗✌✹✌✺✌✿✦✌✧✭✌✮õø. ✑ 9–15 ✑ 9–16 ✞✤❀✤❁✤✣✤❂￾✤❃✤❄✤❅✤❆✤❇, ý✁þ✤❈✤❉✆✤☞✞ v1 ✡✤❊✤❋✗ ✠✦✤✧✭✤✮õø, ●✤❍✻✭ ✮❹øý❹þ. ❋✂■✂❏✂❑✼✂✽✂▲◆▼✂❖◗P✂❘✂❙◆▼✌❖✘P❹õ✭✂✮✟øý✟þ. ✭✂✮❹øý❹þ✂❉✑✂❚✽✂❯❹õ✂❱ ❲ý✟þ❍✌❳. ❨❬❩❪❭❬❫❬❴❬❵❜❛❞❝❜❡❞❢ ☞✌❣✌✭✌✮✟øý✟þ✟õ✌❤✌✐✌❥✌❦, ❧♥♠✌♦✌♣õ✭✌q❤✌✐✌❉✖r E.W.Dijkstra s 1959 t✌✉✌❇ õ , ❋✌✈✌✇☞✌❇ v1 ✡ vn õ✭✌✮✟ø, ✭✌①✌✒✌②✡ õ✌③✌④✌❀✌❉✌✞✌⑤✌✠ v1 ✡✗ ✠✟õ✭✌✮✟ø