第十四讲(一)偏微分方程定解问题 814.1边界条件与初始条件 ★只根据 Newton第二定律列出的动力学方程并不能唯一地确定质点的运动 ★要完全确定一个质点的运动,除了微分方程之外,还必须有初始条件.否则二阶常微分方程 的通解中含有两个任意常数,因而解不是唯一确定的 ★只有偏微分方程,也不能唯一地、确定地描写某一个具体的物理过程. ★二阶偏微分方程的通解,含有两个任意函数.例如,偏微分方程 02u(x,y) 0 的通解就是 u(a, y)=ci(y)+ac2(y) 其中c1(y)和c2(y)是y的任意函数 仅有方程,而解并不唯一从物理上来看,也是自然的,因为 ★在推导方程时,只考虑了介质的内部,并没有考虑介质通过表面和外界的相互作用.因此 严格说来,方程只适用于介质内部 ★如果问题与时间有关的话,在推导方程时也并没有考虑介质的历史状况.如果我们适当选取 计时的零点,那么,就可以说,方程也只适用于t>0的任一时刻 为了完全描写一个具有确定解的物理问题,在数学上就是要构成一个定解问题,这除了微分 方程之外,还必须有边界条件和初始条件 初始条件初始条件应该完全描写初始时刻(t=0时)介质内部及边界上任意一点的状况 ★对于波动方程来说,就是应该给出初始时刻的位移和速度(如果是力学问题的话) l=0=c(x,3,2) v(x,y,z),(x,y,z)∈V ★对于热传导方程,由于方程中只出现未知函数u(x,y,z,t)对t的一阶偏微商,所以只需给出Wu Chong-shi ￾✁ ✂✄ (☎) ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ §14.1 ✍✎✏✑✒✓✔✏✑ F ✕✖✗ Newton ✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✚✰✱✣✲✤✳ F ✴✵✶✯✚✭✷✰✱✣✲✤✸✹✺✻✼✧★✽✾✸✿❀❁❂❃❄❅❆✳❇❈✙❉❊✻✼✧★ ✣❋● ❍■❂❏✷❑▲❊▼✸◆❖●✪P✬✭✯✚✣✳ F ✕❂◗✻✼✧★✸❘✪✫✬✭✮❙✯✚✮❚❯❱✭✷❲❳✣❨❩❬★✳ F ✙❉◗✻✼✧★✣❋●✸■❂❏✷❑▲❭▼✳❪❫✸◗✻✼✧★ ∂ 2u(x, y) ∂x2 = 0 ✣❋●❴P u(x, y) = c1(y) + xc2(y), ❵ ❍ c1(y) ❛ c2(y) P y ✣❑▲❭▼✳ ❜ ❂✧★✸❖●✩✪✬✭✳❝❨❩❞❡❢✸❘P ❣ ❤ ✣✸◆✐ F ❥❦❧✧★♠✸✕♥♦✺♣✰✣ qr✸✩s❂♥♦♣✰❋❬t✉❛✾✈✣✇①②③✳◆④✸ ⑤⑥⑦❡✸ ⑧⑨⑩❶❷❸❹❺❻❼✳ F ❫❽❾❿➀♠➁❂➂✣➃✸❥❦❧✧★♠❘✩s❂♥♦♣✰✣➄➅➆➇✳❫❽➈➉➊➋➌➍ ➎ ♠✣➏✱✸➐➑✸❴➒➓⑦ ✸ ⑧⑨➔⑩❶❷❸ t > 0 →➣↔↕➙✳ ✐✺✵✶❚❯✭✷❲❂✯✚●✣❨❩❾❿✸❥▼✦❞❴P✴➛➜✭✷✚●❾❿✸➝✹✺✻✼ ✧★✽✾✸✿❀❁❂➞✈❅❆❛❃❄❅❆✳ ➟➠➡➢ ➟➠➡➢➤➥➦➧➨➩➟➠↕➙ (t = 0 ↕) ❹❺❻❼➫➭➯➲➣➳↔➵→➸➺✳ F ➻➼➽✤✧★❡⑦ ✸❴P➾➚➪✢❃❄♠➶✣➹➘❛➴➷ (❫❽P✥✦❾❿✣➃) ✸ u   t=0 = φ(x, y, z), ∂u ∂t     t=0 = ψ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . F ➻➼➬➮❧✧★✸➱➼✧★ ❍✕✢✃❐❒❭▼ u(x, y, z, t) ➻ t ✣✭❉◗✻❮✸❰➓✕Ï➪✢