多项式的性质 而对于P中所有的数a都有 f(a)=g(a)? 由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答 定理9如果多项式f(a),g(x)的次数都不超过t,而它们 对n+1个不同的数ap,a2,…,an+1有相同的值,即f(a,)=g(a 2=1,2,…,n+1,那么f(x)=g(ax) 证明由定理的条件,有 f(a;)-g(a)=0,=1,2,…,%+1 这就是说,多项式f(a)-g(x)有t+1个不同的根.如果f(a) g(a)≠0,那么它就是一个次数不超过v的多项式,由定理8,它 不可能有+1个根.因此,f(x)=g(x). 因为数域P中有无穷多个数,所以定理9说明了,不同的多项 式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数,就称 为恒等,上面的结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一 致的.换句话说,数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理 也可以作为函数来处理,但是应该指出,考虑到今后的应用与推 广,多项式看成形式表达式要方便些,多项式的性质 3