·24· 北京科技大学学报 第34卷 成=r(.园，)-o). (26) 式中，T:为正定常矩阵，σ：为设计常数.由式(3)、 式(24)和式(26)可得 3pi g国)）dp.-la-0gGp+ap+ 阿-言器小+ 名与g-名，m成 (27) 当i=n时，。+1=0，实际的控制器u及参数自适应 -广 律可构造如下： 2 (医-分小 “=--p.园， 1 (28) aQi-1 =r.(②.2)-m,). (29) 相应地，由式(28)、式(29)可得 县国)A)+三… Lv.≤ 子g区ep3+ah(,)h,(国，)p:+ 言与名啊呢 (30) axp ax 由Young's不等式 2G国 axj da;-1 -o,W,=-,前(+W,)≤ ax; -g止+w止， 2 2 山（ 3 d0-1 子+欧 故式(30)可化为 ( 式中，元=（，a1 a,, aoi-1 , 此e动-4月含L, 2 dxi-1 axi 8ai-1 ax1 ax2 B）eR2an xi-1 取虚拟控制律 式中c肥{a可}d)为矩 -一-喻o园。 (23) 阵I厂的最大特征值μ=》 2 式中：k>0为设计常数：山（元）=m,(,)为径向 基函数神经网络在有界闭集2：，上对中：()的逼 名的由引理1可知，系统存在唯一解，且解 近；W为理想权向量W:的估计：估计误差定义为 过程是依概率有界的. =W-W令(2)=W,()+e:(2),则 3 仿真结果 1e:()1≤e,:∈2于是式(22)可化为 ≤克+(-好-丽，)+s,)+ 考虑如下随机非线性系统： 7: 4+1 dx e-0.s+(1+x)x2]dt +0.Isinx:dw, (24) dx2 =(3+cos(xx2))u]dt +xe"dw, 考虑如下Lyapunov函数 y=X1. =++2工， 控制目标是使输出y跟踪期望信号： (25) ya =0.5sin t+sin 0.5t. 取自适应律 选择虚拟控制律、控制律和参数自适应律如下：北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 ψi ( zi ) = fi ( xi ) gi ( xi ) + 3 4 λ 4 3 i zi + ∫ 1 0 ∑ i－1 j = 1 zi g － 1 i ( xi － 1，ρizi + αi － 1 ) xj ( fj ( xj ) + gj ( xj ) xj + 1 ) dρi － Lαi － 1 ∫ 1 0 3ρ 2 i gi ( xi － 1，ρizi + αi － 1 ) dρi + 9ηi 16g2 i ( xi ) hT i ( xi ) － ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hT j ( xj ) 4 zi + 1 2 g － 1 i ( xi ) zi hT i ( xi ) － ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hT j ( xj ) 2 + g － 1 i ( xi ) αi ( － 1 hT i ( xi ) － ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hT j ( xj ) ( ) · ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hj ( xj ) ) + ∑ i－1 p = 1 g － 1 i ( xi ) x ( p hT i ( xi ) － ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hT j ( xj ) ) hp ( xp ) + 1 2 ∫ 1 0 ∑ i－1 p，q = 1 zi ·  2 g － 1 i ( xi － 1，ρizi + αi － 1 ) xp xq hT p ( xp ) hq ( xq ) dρi + ∫ 1 0 ∑ i－1 j = 1 zi  2 g － 1 i ( xi － 1，ρizi + αi － 1 ) xj αi － 1 dρihT j ( xj ( )· ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hj ( xj ) ) + 1 2 ∫ 1 0 zi ·  2 g － 1 i ( xi － 1，ρizi + αi － 1 ) α2 i － 1 dρi ( ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hT j ( xj ) ( ) · ∑ i－1 j = 1 αi － 1 xj hj ( xj ) ) ． 式 中，zi = ( xT i ，αi － 1，αi － 1 x1 ，…，αi － 1 xi － 1 ， 2 αi － 1 x 2 1 ，  2 αi － 1 x1 x2 ，…，  2 αi － 1 x 2 i － 1 ，βi － 1 ) T ∈R( t2 + 3i + 2) /2 ． 取虚拟控制律 αi = － kizi － 1 4λ4 i － 1 zi － W^ T i φi ( zi ) ． ( 23) 式中: ki ＞ 0 为设计常数; ^ ψi ( zi ) = W^ T i φi ( zi ) 为径向 基函数神经网络在有界闭集 Ω z － i 上对 ψi ( zi ) 的逼 近; W^ i 为理想权向量 Wi 的估计; 估计误差定义为 W 槇i = W^ i － Wi ． 令 ψi ( zi ) = WT i φi ( zi ) + εi ( zi ) ，则 | εi ( zi ) |≤εi，zi∈Ωzi ． 于是式( 22) 可化为 LVzi ≤ 1 ηi + z 3 i ( － kizi － W 槇T i φi ( zi ) + εi ( zi ) ) + 1 4λ4 i z 4 i + 1 ( 24) 考虑如下 Lyapunov 函数 Vi = Vi － 1 + Vzi + 1 2 W 槇T i Γ－ 1 i W 槇i， ( 25) 取自适应律 W^ · i = Γi ( z 3 i φi ( zi ) － σiW^ i ) ． ( 26) 式中，Γi 为正定常矩阵，σi 为设计常数． 由式( 3) 、 式( 24) 和式( 26) 可得 LVi≤ ∑ i j = 1 1 ηj － ∑ i j = 1 － kj z 4 j + 1 4λ4 i z 4 i + 1 + ∑ i j = 1 |zj | 3 εj － ∑ i j = 1 σj W 槇T j W^ j ． ( 27) 当 i = n 时，zn + 1 = 0，实际的控制器 u 及参数自适应 律可构造如下: u = － kn zn － 1 4λ4 n － 1 zn － W^ T nφn ( zn ) ， ( 28) W^ · n = Γn ( z 3 nφn ( zn ) － σnW^ n ) ． ( 29) 相应地，由式( 28) 、式( 29) 可得 LVn≤ ∑ n j = 1 1 ηj － ∑ n j = 1 kj z 4 j + ∑ n j = 1 |zj | 3 εj － ∑ n j = 1 σj W 槇T j W^ j ． ( 30) 由 Young’s 不等式 － σj W 槇T j W^ j = － σj W 槇T j ( W 槇j + Wj ) ≤ － σj‖W 槇j‖2 2 + σj‖Wj‖2 2 ， |zj | 3 εj≤ 3 4 kj z 4 j + 1 4k 3 j ε4 j ． 故式( 30) 可化为 LVn≤ ∑ n j = 1 1 ηj － 1 4 ∑ n j = 1 kj z 4 j － ∑ n j = 1 σj‖W 槇j‖2 2 + ∑ n j = 1 σj‖Wj‖2 2 + ∑ n j = 1 1 4k 3 j ε4 j ≤ － cVn + μ． ( 31) 式中: c = min i = 1，…，n { kigi0， σi λmax ( Γ － 1 i } ) ，λmax ( Γ－ 1 i ) 为矩 阵 Γ－ 1 i 的最大特征值; μ = ∑ n j = 1 1 ηj + ∑ n j = 1 σj‖Wj‖2 2 + ∑ n j = 1 1 4k 3 j ε4 j ． 由引理 1 可知，系统存在唯一解，且解 过程是依概率有界的． 3 仿真结果 考虑如下随机非线性系统: dx1 =［x1 e － 0. 5x1 + ( 1 + x 2 1 ) x2］dt + 0. 1sinx1 dw， dx2 =［x1 x 2 2 + ( 3 + cos( x1 x2 ) ) u］dt + x1 ex2 dw， y = x1 { ． 控制目标是使输出 y 跟踪期望信号: yd = 0. 5sin t + sin 0. 5t． 选择虚拟控制律、控制律和参数自适应律如下: ·24·