第1期 王飞等：基于积分型Lyapunov函数的随机非线性系统的自适应控制 ·25· a1=-k11-m,(元)， 参考文献 1 u=-4-府p:), [Pan Z C,Basar T.Backstepping controller design for nonlinear stochastic systems under a risksensitive cost criterion//Proceed- ings of American Control Conference,1997:1278 W,=r(e,()-om,),i=1,2 2]Pan Z C,Basar T.Adaptive controller design for tracking and dis- 式中，a1=x1-ya2=x2-a,1=(x1ya少)T, turbance attenuation in parametric strict-feedback nonlinear sys- tems.IEEE Trans Autom Control,1998,43(8):1066 =4尝a)八g0+ B]Liu Y G,Shi S J,Pan Z G.Backstepping robust adaptive feed- back control design for stochastic nonlinear systems.Acta Autom 心4+01，神经网络节点数4=50，h=60,基 Sin,2001,27(5):613 (刘允刚，施颂椒，潘子刚.随机非线性系统鲁棒自适应反馈 函数的宽度u1:=0.02(i-25),i=1,2,…,50,2:= 控制器的积分反推方法设计.自动化学报，2001,27(5)： 613) 0.03(i-30),i=1,2,…,60,中心7：=72=1.初 [4]Deng H,Krstic M.Stochastic nonlinear stabilization:I.A back- 始条件为（x1(0),2(0)T=(0.1,-0.2)T, stepping design.Syst Control Lett,1997,32(3):143 ((0),d(0))T=(0,0)T,设计参数为k=k2= 5] Deng H,Krstic M.Output-feedback stochastic nonlinear stabiliza- 40,T1=T2=diag(10,10),o1=o2=0.01.仿真结 tion.IEEE Trans Autom Control,1999,44(2):328 果如图1和图2所示. [6]Deng H,Krstic M,Williams R J.Stabilization of stochastic non- linear systems driven by noise of unknown covariance.IEEE Trans 一输出y Autom Control,2001,46(8):1237 跟踪期望的 [7]Liu S J.Zhang J F.Output-feedback control of a class of stochas- 轨迹ya tic nonlinear systems with linearly bounded unmeasurable states. Int J Robust Nonlinear Control,2008,18(6):665 [8]Liu SJ.Ge SS,Zhang J F.Adaptive output-feedback control for a class of uncertain stochastic non-inear systems with time delays Int J Control,2008,81(8):1210 10 20 时间s Chen W S,Jiao LC,Li J,et al.Adaptive NN backstepping out- 图1输出y跟踪期望的轨迹y put-feedback control for stochastic nonlinear strict-feedback sys- Fig.1 Output y following the desired trajectory ya tems with timevarying delays.IEEE Trans Syst Man Cybern Part B,2010,40(3):939 [10]Li J,Li J M,Chen W S.Adaptive neural network output-feed- back stabilization for a class of stochastic nonlinear strict-feedback systems.Acta Autom Sin,2010,36(3):450 (李靖，李俊民，陈为胜。随机非线性严格反馈系统的自适 -100 应神经网络输出反馈镇定.自动化学报，2010,36(3)：450) [11]Yu Z X,Du H B.Neural-network-based bounded adaptive stabi- -200 lization uncertain stochastic nonlinear systems with time-delay. 300% 10 15 20 Control Theory Appl,2010,27(7):855 时间/s (余昭旭，杜红彬.基于神经网络的不确定随机非线性时滞 系统自适应有界镇定.控制理论与应用，2010,27(7)：855) 图2控制信号” Psillakis HE.Alexandridis AT.NN-based adaptive tracking control Fig.2 Control signal u of uncertain nonlinear systems disturbed by unknown covariance noise.IEEE Trans Neural Netuorks,2007,18(6):1830 4结论 [13]Zhang T P,Zhang H Y,Gu H J.Direct adaptive fuzzy control based on backstepping technique.Control Decis,2004,19(1) 讨论了一类随机严格反馈非线性系统的自适应 (张天平，张惠艳，顾海军.基于后推设计的直接自适应模糊 跟踪控制问题.通过引入积分型Lyapunov函数，并 控制.控制与决策，2004,19(1)：22) 基于后推设计、Young's不等式以及径向基函数神 04] Wang Y C.Zhang H G,Wang Y Z.Fuzzy adaptive control of 经网络的逼近性质，提出了一种自适应神经网络跟 stochastic nonlinear systems with unknown virtual control gain function.Acta Autom Sin,2006,32 (2):170 踪控制策略.根据Lyapunov方法，在后推设计的每 [15]Liu S J,Zhang J F,Jiang Z P.A notion of stochastic input-to- 步确定了可调参数的自适应律.理论分析证明了 state stability and its application to stability of cascaded stochastic 闭环系统的所有信号依概率有界 nonlinear systems.Acta Math Appl Sin,2008,24(1):141第 1 期 王 飞等: 基于积分型 Lyapunov 函数的随机非线性系统的自适应控制 α1 = － k1 z1 － W^ T 1φ1 ( z1 ) ， u = － k2 z2 － 1 4λ4 1 z2 － W^ T 2φ2 ( z2 ) ， W^ · i = Γi ( z 3 i φi ( zi ) － σiW^ i ) ， i = 1，2． 式中，z1 = x1 － yd，z2 = x2 － α1，z1 = ( x1，yd，y · d ) T ， z2 = ( x1，x2，α1，α1 x1 ， 2 α1 x 2 1 ，β1 ) T ，β1 = α1 yd y · d + α1 y · d y ·· d + α1 w^ 1 w^ · 1，神经网络节点数 l1 = 50，l2 = 60，基 函数的宽度 μ1i = 0. 02( i － 25) ，i = 1，2，…，50，μ2i = 0. 03( i － 30) ，i = 1，2，…，60，中心 η1i = η2i = 1． 初 始条 件 为 ( x1 ( 0 ) ，x2 ( 0 ) ) T = ( 0. 1，－ 0. 2 ) T ， ( w^ T 1 ( 0) ，w^ T 2 ( 0) ) T = ( 0，0) T ，设计参数为 k1 = k2 = 40，Γ1 = Γ2 = diag( 10，10) ，σ1 = σ2 = 0. 01． 仿真结 果如图 1 和图 2 所示． 图 1 输出 y 跟踪期望的轨迹 yd Fig． 1 Output y following the desired trajectory yd 图 2 控制信号 u Fig． 2 Control signal u 4 结论 讨论了一类随机严格反馈非线性系统的自适应 跟踪控制问题． 通过引入积分型 Lyapunov 函数，并 基于后推设计、Young’s 不等式以及径向基函数神 经网络的逼近性质，提出了一种自适应神经网络跟 踪控制策略． 根据 Lyapunov 方法，在后推设计的每 一步确定了可调参数的自适应律． 理论分析证明了 闭环系统的所有信号依概率有界． 参 考 文 献 ［1］ Pan Z G，Basar T． Backstepping controller design for nonlinear stochastic systems under a risk-sensitive cost criterion / / Proceed￾ings of American Control Conference，1997: 1278 ［2］ Pan Z G，Basar T． 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