4 证:先证f(x)是I到I的映射,即当x-d≤时f(x)-4≤r。再 证f(x)是压缩映射 11设(x)≤M,0<a<%,x∈R令x=9(x)…x=(xm) 试证mxn存在,且为方程x=cyf(x)的根。 证:0<q=Ma<1,kxn-xn|≤qxn-xn,由此可知{xn}是柯西列 X 2、设0≤x≤1,y1-2 (n=1,2,…)。求极限imy 证:用归纳法可证{vn}↑,0≤yn≤1。 13、设a>1,x>√,xn1=日+x,(n=1,2,…)求极限:mx 解:x-1+(a-a+及x>可知x,≤ x,≥√ 2a-x2)>0xn<√a 又由xm2-x=1+a+2x(<0xV,可知{x)个,(x2x 令a=lmx,b=mx,分别在x1=+x,x11=+x两边 +x2k 取极限,得到a=b=√a,因此 lim x=a 14、设x1>0,a>0 3x2 求:imxn x xn}的单调性归结为是 x< va 否:xn都大于a?或x都小于√a?xn都等于√a?设∫(x) x(x2+3a) 则f(x)=3(x2-a)2 ≥0,f(ya) 于是4 证：先证 f (x) 是 I 到 I 的 映 射 ， 即 当 x − a  r时 f (x) − a  r 。 再 证 f (x) 是压缩映射。 1 1 、 设 M f (x)  M , 0   1 ， , ( ), , ( ) 0  1 = 0 n = n−1 x R 令x f x  x f x 。 试 证 n n x → lim 存 在 ,且为方程 x = f (x) 的根。 证 ： 0 < 1 1 1, =  n+ − n  n − n− q M x x q x x ,由此可知 xn  是柯西列 . 1 2、 设 , ( 1 , 2 , ) 2 2 , 2 0 1 , 2 1   1 = = + − n =  x y y x x y n n 。求极限 n n y → lim 。 证：用归纳法可证 yn  , 0  yn  1 。 1 3、 设 n n n n n n x x x x x → + = + +   = , ( 1, 2 , ) . lim 1 1, , 1 1  求极限：    。 解 ：         + − + +1 = + 1 2 2 +1 , 1 ( 1)( 1) 1 k k n n x x x x x 及 可知 。 又 由         + + − + − =     n n n n n n x x x x x x 0 0 1 2 2( ) 2 2 ，可知 x2k  , x2k+1 。 令 k k k k k k k k k k x x x x x a x b x x 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , 1 lim , lim , + + = + + = = = + − − + → →   分别在 两 边 取极限，得到 = =  =  → n n a b ,因此 lim x 。 1 4、 设 1 x ＞ 0， n n n n n n x x a x x a a x → + + +  = , lim 3 ( 3 ) 0 , 2 2 1 求： 。 证 ：                 + = + + x a x a x a a x x n n n n n 1 1 3 8 1 3 1 2 1 。 xn  的 单 调 性 归 结 为 是 否 ： n x 都大于 a ？ 或 n x 都小于 a ？ n x 都等于 a ？ 设 x a x x a f x + + = 2 2 3 ( 3 ) ( ) 则 f a a x a x a f x  = + −  = 0 , ( ) (3 ) 3( ) ( ) 2 2 2 2 。于是：