lim In xn=lim 2 --2' 1=n,所以mx 8、设:A=∑a收敛,{pn}个+。求证:1im24++Pa=0 n→① (P-Pk+)4 证:ak=A4-A-1,则:原式= +A.,对第一项应用 Pn Stolz公式 9、设x1>0,xn+1 (1+xn) (c>1),求:lm C+x n→∞ 解:注意到xn-x>2一C,故应比较xn与√c的大小关系。问题在 于是否有:xn都大于c?或xn都小于√c?或xn都等于√c?这问题通 常与递推关系式(x)=+3)的单调性及首项x的大小有关 C+x 设:f(x)= c(1+x) ,则f(x) C (c+x)2>0,且(√c) 所以∫(x)单调增加。 ①x1=vVE时,对任意n都有xn=√C,所以{n}收敛于 ②x>√C。由xn1=f(x)及归纳法可证xn>Vc,因此又有{xn}↓ ③x<V∈。同理可证xn<√c,且{xn}个。 另解:因为0<(x)=2(C=1)≤2(D=1-1k<1,即()为压缩映射 从而{xn}收敛 10、若f(x)在I=[a-r,a+r]上可微,(x)≤a<1,|(a)-d≤(1-a)r 任取x。∈l,令x1=f(x0),x2=f(x1)…,xn=f(xn)…。则:存在唯一的x∈ 使mxn=x,x为f(x)的不动点。3 2 1 , lim 2 1 ln 2 2 2 1 2 2 ln lim ln 1 2 1 2 lim = = − − = → − − − − → → n n n n n n n n n n x 所以 x 。 8、 设 ： = = n k An ak 1 收敛， pn  + 。 求 证 ： 0 1 1 lim = + + → n n n n p p a  p a 。 证 ： ak = Ak − Ak−1 ，则：原式 = n n n k k k k A p p p A +  − − = + 1 1 1 ( ) ，对第一项应用 S t o l z 公式。 9、 设 n n n n n c x c x c x x x → +  + +  = ( 1) , lim (1 ) 0 , 1 1 求： 。 解 ：注 意 到 ， n n n n c x x c x x + − − + = 2 1 故应比较 n x 与 c 的 大 小 关 系 。问 题 在 于是否有： n x 都 大 于 c ？ 或 n x 都 小 于 c ？ 或 n x 都 等 于 c ？ 这 问 题 通 常与递推关系式 c x c x f x + + = (1 ) ( ) 的单调性及首项 1 x 的大小有关。 设 ： f c c c x c c f x c x c x f x  = + −  = + + = 0, ( ) ( ) ( 1) , ( ) (1 ) ( ) 则 2 且 ，所 以 f (x) 单 调增加。 ① x = c 1 时，对任意 n 都 有 x c n = ，所以 xn  收敛于 c 。 ② x  c 1 。 由 ( ) n 1 n x = f x + 及归纳法可证 x c n  ，因此又有 xn   。 ③ x  c 1 。同理可证 xn  c ,且{xn }。 另解：因为 1 , ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 0 ( ) 2 2 f x c c c c c x c c f x = −  即 −  + −   = 为压缩映射， 从 而 xn  收敛。 1 0、若 f (x) 在 I=[a - r,a+r]上可微， f (x)  1, f (a) − a  (1−)r ， x I x f x x f x x f x x I  = = n = n−  * 0 1 0 2 1 1 任取 ,令 ( ), ( ), , ( ),。则：存在唯一的 * * lim x x , x n n =  使 为 f (x) 的不动点