→x0(n4→>∞).于是一方面由B的连续性,B0= lim / Bx=0 另一方面,‖x‖lim‖x,‖=|A|≠0,矛盾说明a是存在的 若y是R(B)中的 Cauchy序列,不妨设yn=Bxn,xn∈M,则 lyn-yn‖引B(xn-xn)川‖≥al‖xn-xn‖ {x}是M中的 Cauchy序列,M闭,故存在x∈M,xn→x,令 y=Bx0,则y∈R(B),Bxn→>Bx0=y,R(B)是闭的,所以R(/-A) 是闭的 引理3设X为 Banach空间,A∈B(X),则对应于A的不同特 征值的特征向量彼此线性无关 证明设A1…是A的互不相同的特征值,x12…xn是相应的特 征向量,x≠0,Ax=1x(=1…m).若x1;…,x线性相关,不失一般 性设x=∑叫ax,则一方面 (4-4)…(--A)xn=(4/-A)…(n-1xn-Axn) =(41-A)…(-2-A)xn(元n-1-n) (1-)…(-1-元)xn≠0 另一方面,它们是可交换的,从而 (41-4)…(n1-A)xn=∑a(4l-4)…(I-A)x=0 矛盾.由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关,故结论成立 定理1设X是 Banach空间,A∈C(X),则 (1)A的非零谱点都是特征值 (2)σ(A)是可数集,0是o(4)惟一可能的聚点 (3)若dimX=∞,则0∈o(A) (4)对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的3 0 ( ). k n k λx xn → →∞ 于是一方面由 B 的连续性， 0 lim 0. k k n n Bx Bx λ →∞ = = 另一方面， 0 || || lim || || | | 0, k k n n x x λ λ →∞ = =≠ 矛盾说明 a 是存在的. 若 n y 是 R( ) B 中的 Cauchy 序列，不妨设 , , n nn y Bx x M = ∈ 则 || || m n y y − || ( ) || || ||, B mn mn = x x ax x −≥ − { }n x 是 M 中 的 Cauchy 序 列 ， M 闭，故存在 0 0 , . n x ∈ Mx x → 令 0 0 y Bx = , 则 0 00 ( ), . ( ) n y R B Bx Bx y R B ∈ →= 是闭的，所以 R( ) λI A − 是闭的. 引理 3 设 X 为 Banach 空间， A∈B( ), X 则对应于 A 的不同特 征值的特征向量彼此线性无关. 证明 设 1, λ λn ⋅⋅⋅ 是 A 的互不相同的特征值， 1, , n x ⋅⋅⋅ x 是相应的特 征向量， 0, ( 1, ). i i ii x ≠ = = ⋅⋅⋅ Ax x i n λ 若 1, , n x ⋅⋅⋅ x 线性相关，不失一般 性设 1 1 n n ii i x a x − = =∑ ，则一方面 11 11 ( )( ) ( )( ) n n nn n λ I − ⋅⋅⋅ − = − ⋅⋅⋅ − A I A x I A x Ax λ λλ − − 1 21 ( ) ( )( ) n nn n = λ I A I Ax − ⋅⋅⋅ − − λ λλ − − = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 1 ( )( ) 0 n n nn λ λ λλ x = − ⋅⋅⋅ − ≠ − 另一方面，它们是可交换的，从而 1 1 ( )( ) n n λ I − A I Ax λ − ⋅⋅⋅ − 1 1 1 1 ( ) ( ) 0, n i ni i a I A I Ax λ λ − − = = ∑ − ⋅⋅⋅ − = 矛盾. 由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关，故结论成立. 定理 1 设 X 是 Banach 空间， A∈C X( ), 则 （1） A 的非零谱点都是特征值. （2） σ ( ) A 是可数集，0 是 σ ( ) A 惟一可能的聚点. (3) 若 dim , X = ∞ 则 0 ( ). ∈σ A (4) 对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的