4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4为模9的绝对值最小完全剩余系。 例2设a,a是模m的同一个剩余类中的任意两个整数,则有 (a1,m)=(a12,m) 证设a∈C,a,∈C。则存在整数k,k,使得 a=r+km,a2=r+km,于是有(a1,m)=(m,r), (a2,m)=(m,r),所以(a1,m)=(a12,m) 例3(染色问题)设a,m是正整数,(a,m)=1,0<a<m, 记集合M={1,2,3…,m-1}。现对集合M中的每个数i涂上 黑色或白色,要满足以下条件:(1)i和m-i要涂上同一种 颜色:(2)当i≠a时,面|a-i要涂上同一种颜色。证明: 所有的数一定都涂上同一种颜色。 证我们的想法是把要涂色的集合M扩充到全体整数,除已 知两条外另外满足:(3)属于模m的同一个剩余类中的数涂 上相同的颜色;(4)0和a要涂上同一种颜色。这样就可以对 全体整数涂色,这样的涂色应该满足如下性质 [l对任意的整数j,j和-j一定涂相同的颜色。因为对于 任意的整数j,必存在整数i,使得0≤i<m,j≡i(modm), 由(3)知j和同色;而-j=-i=m-(modm),所以由 (3)知一j和m-i同色,从而由(1)和(4)知-j和j同色。 2]对任意的整数j,j利-a同色,从而属于模a的同一个 剩余类中的数涂上相同的颜色。因为对于任意的整数j,必 存在整数i,使得0≤i<m,j≡(modm),由(3)知j和i同− 4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4 为模 9 的绝对值最小完全剩余系。 例2 设 1 2 a , a 是模 m 的同一个剩余类中的任意两个整数，则有 ( , ) ( , ) a1 m = a2 m 。 证 设 a1 C r ， a2 C r 。则存在整数 1 2 k ,k ，使得 a1 = r + k1m ， a2 = r + k2m ，于是有 ( , ) ( , ) 1 a m = m r ， ( , ) ( , ) 2 a m = m r ，所以 ( , ) ( , ) a1 m = a2 m 。 例 3（染色问题）设 a,m 是正整数， (a,m) =1,0  a  m， 记集合 M = {1,2,3,  ,m −1} 。现对集合 M 中的每个数 i 涂上 黑色或白色，要满足以下条件：（1） i和m − i 要涂上同一种 颜色；（2）当 i  a 时， i和| a −i | 要涂上同一种颜色。证明： 所有的数一定都涂上同一种颜色。 证 我们的想法是把要涂色的集合 M 扩充到全体整数，除已 知两条外另外满足：（3）属于模 m 的同一个剩余类中的数涂 上相同的颜色；（4） 0和a 要涂上同一种颜色。这样就可以对 全体整数涂色，这样的涂色应该满足如下性质： [1] 对任意的整数 j ， j和− j 一定涂相同的颜色。因为对于 任意的整数 j ，必存在整数 i ，使得 0  i  m, j  i(modm)， 由（3）知 j和i 同色；而− j  −i  m − i(modm) ，所以由 （3）知− j和m −i 同色，从而由（1）和（4）知− j和j 同色。 [2] 对任意的整数 j ， j和j − a 同色，从而属于模 a 的同一个 剩余类中的数涂上相同的颜色。因为对于任意的整数 j ，必 存在整数 i ，使得 0  i  m, j  i(modm) ，由（3）知 j和i 同