圣彼得堡悖论 长期以来,不确定情况下的决策问题是与概率论这门学科相联系的。当时这类问题大 用赌博的形式提出来的,并认为是否值得参加一场赌博决策,在可能情况下可通过计算局中 人的期望收益来判断,如果期望收益为正,那么对参与者而言有利的,虽然这并不意味着每 赌必赢,但不断赌下去平均收益为正;期望收益为负的情况恰恰相反。而期望值为零,则意 味着这场赌博为“公平游戏”。这样,期望收益的大小是“理性赌徒”用来对赌博进行决策 的主要依据,或者说期望收益可以给赌博进行“定价”。 然而,这样的决策分析很快被遭到质疑。瑞士著名数学家丹尼尔·贝诺利( Daniel Bernoulli)在1725-1733年在圣彼得堡研究一种投币游戏,并于1738年揭开了这个有 趣的谜题。后来,这个谜题以“圣彼得堡悖论”(St. Petersburg Paradox)著称。所谓 圣彼得堡悖论”涉及的是一场猜硬币正反面的赌博。参加游戏者必须先支付门票,然后抛 硬币,直到第1个正面出现为止。若第1次抛到正面,就赚2元;若没有,继续抛,若 第2次抛到正面,赚4元…依此类推。问题是:为使得一个赌徒有权参加这样的游戏,他应 该最多付多少钱才能使得这场赌博成为“公平游戏”? 由于在抛到正面之前,反面出现的次数(用n表示)用来计算参加者的报酬r: r(n)=2 下表是各种结果的概率和报酬。 反面 概率 报酬 概率*报酬 (1/2) 1/2 预期收益: ∑Pn=1/2+1/2+ 以上的1/2是掷出正面或反面的概率,这个算式沒有终结,所以这个游戏的期望值是无 限,即你最多肯付出无限的金钱去玩着游戏!尽管游戏的预期报酬是无限的,但参加者的支 付却是有限的。问题是,你有可能只赚到2元,又或者4元,那你为何肯付出无限的金钱作 “打和”昵?这就是悖论所在。即圣彼得堡悖论内涵表明,一个机会的数学价值与人们通常 给它的较低价值并不一致 贝诺利研究发现,投资者赋予所有报酬的每1个美元的价值是不同的,并由此解决的1 圣彼得堡悖论 长期以来，不确定情况下的决策问题是与概率论这门学科相联系的。当时这类问题大多 用赌博的形式提出来的，并认为是否值得参加一场赌博决策，在可能情况下可通过计算局中 人的期望收益来判断，如果期望收益为正，那么对参与者而言有利的，虽然这并不意味着每 赌必赢，但不断赌下去平均收益为正；期望收益为负的情况恰恰相反。而期望值为零，则意 味着这场赌博为“公平游戏”。这样，期望收益的大小是“理性赌徒”用来对赌博进行决策 的主要依据，或者说期望收益可以给赌博进行“定价”。 然而，这样的决策分析很快被遭到质疑。瑞士著名数学家丹尼尔•贝诺利（Daniel Bernoulli）在 1725-1733 年在圣彼得堡研究一种投币游戏，并于 1738 年揭开了这个有 趣的谜题。后来，这个谜题以“圣彼得堡悖论”（St. Petersburg Paradox）著称。所谓 “圣彼得堡悖论”涉及的是一场猜硬币正反面的赌博。参加游戏者必须先支付门票，然后抛 硬币，直到第 1 个正面出现为止。若第 1 次抛到正面，就赚 2 元；若没有，继续抛，若 第 2 次抛到正面,赚 4 元…依此类推。问题是：为使得一个赌徒有权参加这样的游戏，他应 该最多付多少钱才能使得这场赌博成为“公平游戏”？ 由于在抛到正面之前，反面出现的次数（用 n 表示）用来计算参加者的报酬 r： r(n)=2n 下表是各种结果的概率和报酬。 反面 概率 报酬 概率*报酬 0 1 2 3 … n 1/2 1/4 1/8 1/16 … 1 (1/ 2) n 1 2 4 8 … n 2 1/2 1/2 1/2 1/2 … 1/2 预期收益：          ( ) 1/ 2 1/ 2  n 1 n n E R p r 以上的 1/2 是掷出正面或反面的概率，这个算式沒有终结，所以这个游戏的期望值是无 限，即你最多肯付出无限的金钱去玩着游戏！尽管游戏的预期报酬是无限的，但参加者的支 付却是有限的。问题是，你有可能只赚到 2 元，又或者 4 元，那你为何肯付出无限的金钱作 “打和”呢？这就是悖论所在。即圣彼得堡悖论内涵表明，一个机会的数学价值与人们通常 给它的较低价值并不一致。 贝诺利研究发现，投资者赋予所有报酬的每 1 个美元的价值是不同的，并由此解决的