此悖论。随着财富的增多,福利值或效用值的边际效用在下降,即“边际效用递减”。在 此,可以通过一个赋予报酬的函数n(rn)来表达投资者的主观价值。若用支付的美元r来 取代效用值In(n),则游戏的期望效用值的上限则为 ()=∑pnln(n)=∑(1/2)1n(2")=0693。可见,随着报酬的递增,每个美元的 价值在变小,游戏者的主观效用呈现有限性特征。也就是说,对一个风险厌恶的投资者而 言,如果公平游戏的预期利润为零,他的效用函数(对数效用函数)将呈一个特殊的方式 向上倾斜一一以一个递减的比率递增 图1:公平游戏与期望效用 贝诺利的答案深刻揭示了人们在不确定的环境下一般并不以追求直接利益的最大数学 期望作为选择目标,而是另有“更高的道德期望”。但是,贝诺利的“道德期望”长期以来 并不为人们所理解。1944年,冯诺曼和摩根斯坦( Neumann and morgenstern)发表巨著《对 策论与经济行为》,以完全公理的体系将效用思想应用到投资理论。他们证明,对任一理性 决策者,一定存在某种方式对他所关心的各种可能结果赋予效用数值,使其总是选择最大化 自己的效用。2 此悖论。随着财富的增多，福利值或效用值的边际效用在下降，即“边际效用递减”。在 此，可以通过一个赋予报酬的函数 ln( ) n r 来表达投资者的主观价值。若用支付的美元 r 来 取代效用值 ln( ) n r ，则游戏的期望效用值的上限则为： ( ) ln( ) (1/ 2) ln(2 ) 0.693 0 1 0           n n n n n n V r p r 。可见，随着报酬的递增，每个美元的 价值在变小，游戏者的主观效用呈现有限性特征。也就是说，对一个风险厌恶的投资者而 言，如果公平游戏的预期利润为零，他的效用函数（对数效用函数）将呈一个特殊的方式 向上倾斜——以一个递减的比率递增。 图 1：公平游戏与期望效用 贝诺利的答案深刻揭示了人们在不确定的环境下一般并不以追求直接利益的最大数学 期望作为选择目标，而是另有“更高的道德期望”。但是，贝诺利的“道德期望”长期以来 并不为人们所理解。1944 年，冯诺曼和摩根斯坦（Neumann and Morgenstern）发表巨著《对 策论与经济行为》，以完全公理的体系将效用思想应用到投资理论。他们证明，对任一理性 决策者，一定存在某种方式对他所关心的各种可能结果赋予效用数值，使其总是选择最大化 自己的效用