λ=max△D的直径 在每个△D上任取一点(5,),作和数 =∑f(5,n,)△ 如果不管分划及(5,)如何选取,当→0时I的极限存在,则称z=f(x,y)在D上可 积,并称此极限为f(x,y)在D内的二重积分.记为 ∫(x,yd=m∑/,m)△ f(x,y)称为被积函数,D称为积分区域 用E-δ语言可以将以上定义更加精确化.称z=f∫(x,y),(x,y)∈D在D上可积,若 存在某定数A,对任意的E>0,存在δ>0,使得对D的任何分划AD…,AD,…,ADn, 对任意的(5)∈D,只要λ= maxEd的直径}<6时,就有 f(5,n <E 读者不难自己给出n(n≥3)重积分的定义 习题1:叙述三重积分的定义 §6.2重积分的存在性与性质 在本节中我们先讨论重积分的存在性问题,然后再讨论重积分的一些基本性质 21重积分的存在性 我们这里只讨论二重积分 设D是平面内具有面积的区域,=f(x,y)是D上的一个函数.我们首先注意到:若 f(x,y)在D无界,则它在D的二重积分一定不存在.该事实的证明完全与定积分中相应 性质的证明类似.因此我们下面总假定所论及的函数是有界的 对D的任何一个分划△D1…,△Dn,相应地z=f(x,y)在每个△D,上有上确界M13 { j的直径} j n = DD 1£ £ l max . 在每个DD j 上任取一点( , ) j h j x , 作和数 å= = D n j j j j I f 1 (x ,h ) s . 如果不管分划及( , ) j h j x 如何选取, 当l ® 0时 I 的极限存在, 则称z = f ( x, y) 在 D 上可 积, 并称此极限为 f (x, y) 在 D 内的二重积分. 记为 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = å D òò = ® n j j j j D f x y dxdy f 1 0 ( , ) lim (x ,h ) s l . f (x, y) 称为被积函数, D 称为积分区域. 用e -d 语言可以将以上定义更加精确化. 称 z = f (x, y), (x, y)Î D 在 D 上可积, 若 存在某定数 A, 对任意的e > 0, 存在d > 0 , 使得对D 的任何分划 DD DDj DDn , , , , 1 L L , 对任意的 j j Î D j (x ,h ) , 只要l = {D }< d £ £ j的直径 j n D 1 max 时, 就有 å x h Ds - < e = f A n j j j j 1 ( , ) . 读者不难自己给出n (n ³ 3) 重积分的定义. 习题 1: 叙述三重积分的定义. §6.2 重积分的存在性与性质 在本节中我们先讨论重积分的存在性问题, 然后再讨论重积分的一些基本性质. 2.1 重积分的存在性 我们这里只讨论二重积分. 设 D 是平面内具有面积的区域, z = f ( x, y) 是 D 上的一个函数. 我们首先注意到: 若 f (x, y) 在 D 无界, 则它在 D 的二重积分一定不存在. 该事实的证明完全与定积分中相应 性质的证明类似. 因此我们下面总假定所论及的函数是有界的. 对 D 的任何一个分划 DD DDn , , 1 L , 相应地 z = f ( x, y) 在每个 DD j 上有上确界 M j