E={x,y)0≤ysf(x)a≤x≤b 则E是没有面积的.因为f(x)在[a,b]上达布上和的下确界=ntfm(A),而达布下和的上 确界=supm(B).由∫(x)的不可积我们推出 B∈○ mm(4)>8m(B) 从而说明了E是不可求面积的 从面积的定义中可以看出,一个区域D是有面积的充要条件是D的边界OD是有面积 的,并且m(D)=0 12二重积分的定义 设D是平面内一个可求面积的有界闭区域,z=f(x,y)是D上的一个非负连续函数 从几何上看,z=f(x,y)(x,y)∈D是空间的一块曲面.它确定了一个以D为底的曲顶柱 体V.现在我们来求它的体积v 我们下面利用定积分的思想.我们首先用光滑曲线将D分成n个小块闭区域△D1, △D2,…,AD,我们称给了D的一个分划由于D可求面积,从而每个 △DG=12,…,n)也可求面积,记它的面积为△,从D的这个分划,我们得到了n个以 z=f(x,y),(x,y)∈△D为顶,以△D,为底的曲顶柱体V,在△D上任取一点 (5,n),我们得到了△V体积的一个近似值f(,n)△o由此我们得到v的一个近似 值 y≈∑f(,)△o 记λ=maxD的直径,当→0时若 Im∑f(5,) 存在,则我们便求出了V的体积 由此我们有以下定义 定义2:设D是平面内可求面积的闭区域,二=f(x,y)是定义在D上的函数.用光滑 曲线族将D作一分划△D1,…,AD…,△Dn,记△D,的面积为△和 22 E = {(x, y) 0 £ y £ f (x), a £ x £ b}, 则 E 是没有面积的. 因为 f (x) 在[a, b]上达布上和的下确界 inf m(A) AÎM = , 而达布下和的上 确界 sup m(B) BÎm = . 由 f (x) 的不可积我们推出 inf m(A) sup m(B) B AÎM Îm > . 从而说明了 E 是不可求面积的. 从面积的定义中可以看出, 一个区域 D 是有面积的充要条件是 D 的边界 ¶D 是有面积 的, 并且m(¶D) = 0 . 1.2 二重积分的定义 设 D 是平面内一个可求面积的有界闭区域, z = f ( x, y) 是 D 上的一个非负连续函数. 从几何上看, z = f (x, y), (x, y)Î D 是空间的一块曲面. 它确定了一个以 D 为底的曲顶柱 体V . 现在我们来求它的体积v . 我们下面利用定积分的思想. 我们首先用光滑曲线将 D 分成 n 个小块闭区域 DD1 , DD DDn , , 2 L , 我们称给了 D 的一个分划 . 由 于 D 可求面积 , 从而每个 D ( j 1,2, , n) D j = L 也可求面积, 记它的面积为Ds j . 从 D 的这个分划, 我们得到了n 个以 z = f ( x, y) , Dj (x, y) Î D 为顶, 以 DD j 为底的曲顶柱体 Vj . 在 DD j 上任取一点 ( , ) j h j x , 我们得到了 DVj 体积的一个近似值 j j j f (x ,h )Ds . 由此我们得到 v 的一个近似 值 å= » D n j j j j v f 1 (x ,h ) s . 记 { j的直径} j n = DD 1£ £ l max , 当l ® 0时若 å= ® D n j j j j f 1 0 lim (x ,h ) s l 存在, 则我们便求出了V 的体积. 由此我们有以下定义. 定义 2: 设D 是平面内可求面积的闭区域, z = f ( x, y) 是定义在 D 上的函数. 用光滑 曲线族将 D 作一分划DD DDj DDn , , , , 1 L L , 记DD j 的面积为Ds j 和