第七章重积分 本章主要讨论多元函数的积分学.对多元函数来说,积分区域是多样的.就二元函数而 言,积分域可以是平面内的区域或平面内的曲线.对三元函数来说,积分域可以是空间的立 体,空间的曲线和曲面等.通过以下各章的学习,我们会发现这些积分定义中的思想是相同 的,但各种积分的计算则有较大的差别读者在多元积分学中应在掌握各种积分的定义的基 础上,熟练掌握各种积分的计算方法 6.1重积分的定义 本节中我们主要详细介绍二重积分的定义,读者不难利用本节的方法,自己给出n (n≥3)重积分相应的定义 1.1区域的面积 为了将定积分推广至二元函数在平面区域内的积分,首先必须解决平面区域的面积的 定义问题 回忆一下,在初等数学中,我们能求出多边形区域的面积.在定积分中,我们会求曲边 梯形的面积.设y=∫(x)在[a,b]连续,并且对一切x∈[a,b]有∫(x)>0.则由y=f(x) x∈[a,b],x轴,x=a及x=b围成了一个曲边梯形Q.从定积分的定义我们可以看出, Q的面积实际上是Q的所有外接多边形的面积的下确界,同时它也是Q的所有内接多边形 的面积的上确界 以上的讨论启发我们给出以下定义设A是一个多边形,记m(A)为A的面积 定义1:设E是平面内的一个点集,记 s={|A是多边形且Ec O={B|B是多边形且BcE 若nfm(A)=supm(B),则称E是可求面积的.上式中的公共值称为E的面积,记作 B∈○ m(E) 若一个区域D是由逐段光滑的曲线围成时,则D是可求面积的.事实上,我们可以对 D分成一些曲边梯形的并,从而转化为定积分的问题 另外,设非负函数y=f(x),x∈[a,b是[a,b上一个不可积的函数.记1 第七章 重积分 本章主要讨论多元函数的积分学. 对多元函数来说, 积分区域是多样的. 就二元函数而 言, 积分域可以是平面内的区域或平面内的曲线. 对三元函数来说, 积分域可以是空间的立 体, 空间的曲线和曲面等. 通过以下各章的学习, 我们会发现这些积分定义中的思想是相同 的, 但各种积分的计算则有较大的差别. 读者在多元积分学中应在掌握各种积分的定义的基 础上, 熟练掌握各种积分的计算方法. §6.1 重积分的定义 本节中我们主要详细介绍二重积分的定义, 读者不难利用本节的方法, 自己给出n (n ³ 3) 重积分相应的定义. 1.1 区域的面积 为了将定积分推广至二元函数在平面区域内的积分, 首先必须解决平面区域的面积的 定义问题. 回忆一下, 在初等数学中, 我们能求出多边形区域的面积. 在定积分中, 我们会求曲边 梯形的面积. 设 y = f (x)在[a, b]连续, 并且对一切 x Î[a, b] 有 f (x) > 0 . 则由 y = f (x), x Î[a, b] , x 轴, x = a 及 x = b 围成了一个曲边梯形Q . 从定积分的定义我们可以看出, Q 的面积实际上是 Q 的所有外接多边形的面积的下确界, 同时它也是 Q 的所有内接多边形 的面积的上确界. 以上的讨论启发我们给出以下定义. 设 A 是一个多边形, 记m(A) 为 A 的面积. 定义 1: 设E 是平面内的一个点集, 记 { } {B B B E}. A A E A = Ì = Ì 是多边形且 是多边形且 ； m M 若 inf m(A) sup m(B) B AÎM Îm = , 则称 E 是可求面积的. 上式中的公共值称为 E 的面积, 记作 m(E) . 若一个区域 D 是由逐段光滑的曲线围成时, 则 D 是可求面积的. 事实上, 我们可以对 D 分成一些曲边梯形的并, 从而转化为定积分的问题. 另外, 设非负函数 y = f (x), x Î[a, b] 是[a, b]上一个不可积的函数. 记