曲线上标架 谢锡麟 式中|v(t)l3称为速率.然后,推导加速度表达式 V- dvirs tT(s)+V(tlR3(s),(t dviR (t)T(s)+ v(0)23k(s )n(s) 可见,三维轨迹的加速度相对于切向量的分量为速率的时间变化率,相对于主法向量的分量 为速率的平方乘以曲率半径,相对于副法向量的分量为零 2.2曲线上张量场微分学 考虑以下以弧长为参数的二阶张量场 更(s)=(s)T(s)②b(s)+v(s)m(s)⑧b(s), 利用以弧长为参数的标架运动方程,有 更(s)=[(s)rb+or(s)8b+or8b()+(sn8b+vm'(s)8b+vn8b(s) =o(s)Tob+o(kn)b+or o(-on) +v(s)n b+v(KT +ob)b+no(-on) or⑧n+[(s)-K]r8b-onn+[h+v(s)nb+vb 对于以一般参数为参数的张量场,如 更(t)=o(t)(t)⑧b(t)+(t)n(t)⑧b(1) 基于一般参数形式的标架运动方程,其关于t的变化率为 )=|d()r8b+()8b+or8b(t)|+|vi()n@b+vmn()8b+vnb() (t)rb+opr(t)Rn⑧b+oT⑧(-|(t)lRan) +|v(nab+v(-(t)lsr+|r(t)aob)b+ina(-f(t)ksan) 1(r8n+(01(ag8b-)an8n +|F(t)l+v(t)n8b+|f(t)kb⑧b 3建立路径 如果研究的事物发生于一条曲线上,那么基于曲线局部标架展开张量场有益于建立物理或 其它过程同曲线几何之间的关系张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 式中 |V (t)|R3 称为速率. 然后, 推导加速度表达式 a , V˙ = d|V |R3 dt (t)τ (s) + |V (t)|R3 dτ ds (s) ds dt(t) = d|V |R3 dt (t)τ (s) + |V (t)| 2 R3 κ(s)n(s). 可见, 三维轨迹的加速度相对于切向量的分量为速率的时间变化率, 相对于主法向量的分量 为速率的平方乘以曲率半径, 相对于副法向量的分量为零. 2.2 曲线上张量场微分学 考虑以下以弧长为参数的二阶张量场 Φ(s) = ϕ(s)τ (s) ⊗ b(s) + ψ(s)n(s) ⊗ b(s), 利用以弧长为参数的标架运动方程, 有 Φ ′ (s) = [ ϕ ′ (s)τ ⊗ b + ϕτ ′ (s) ⊗ b + ϕτ ⊗ b ′ (s) ] + [ ψ ′ (s)n ⊗ b + ψn ′ (s) ⊗ b + ψn ⊗ b ′ (s) ] = [ ϕ ′ (s)τ ⊗ b + ϕ(κn) ⊗ b + ϕτ ⊗ (−σn) ] + [ ψ ′ (s)n ⊗ b + ψ(−κτ + σb) ⊗ b + ψn ⊗ (−σn) ] = −σϕτ ⊗ n + [ ϕ ′ (s) − κψ] τ ⊗ b − σψn ⊗ n + [ κϕ + ψ ′ (s) ] n ⊗ b + ψb ⊗ b. 对于以一般参数为参数的张量场, 如 Φ(t) = ϕ(t)τ (t) ⊗ b(t) + ψ(t)n(t) ⊗ b(t), 基于一般参数形式的标架运动方程, 其关于 t 的变化率为 Φ˙ (t) = [ ϕ˙(t)τ ⊗ b + ϕτ˙(t) ⊗ b + ϕτ ⊗ ˙b(t) ] + [ ψ˙(t)n ⊗ b + ψn˙ (t) ⊗ b + ψn ⊗ ˙b(t) ] = [ ϕ˙(t)τ ⊗ b + ϕ|r˙(t)|R3 κn ⊗ b + ϕτ ⊗ (−|r˙(t)|R3 σn) ] + [ ψ˙(t)n ⊗ b + ψ(−|r˙(t)|R3 κτ + |r˙(t)|R3 σb) ⊗ b + ψn ⊗ (−|r˙(t)|R3 σn) ] = −|r˙(t)|R3 σϕτ ⊗ n + [ ϕ˙(t) − |r˙(t)|R3 κψ] τ ⊗ b − |r˙(t)|R3 σψn ⊗ n + [ |r˙(t)|R3 κϕ + ψ˙(t) ] n ⊗ b + |r˙(t)|R3 σb ⊗ b. 3 建立路径 • 如果研究的事物发生于一条曲线上, 那么基于曲线局部标架展开张量场有益于建立物理或 其它过程同曲线几何之间的关系. 8