曲线上标架 谢锡麟 以下研究密切平面中的曲线,有 F(0+b)=r()+hx(0)+(802nas0)+o(1)∈spm{r(0,m(0) 引入局部坐标系{O:亚,刃},有参数表示 T(h)=h, 页b)=xm)2+02 可有 Monge型表示 =f()=2了+叫2) 考虑密切平面中的曲率圆 r2+(-K(0) 0)k2(s) 有 7()=(s0-Vk(0) K(40)k(50V1-2(0)2 K(s0)(s0) 2+(0)2+o (s)2+x2) 现在密切平面中的曲率圆同密切平面中的曲线有二阶密切,亦即精度至二阶无穷小量,如图2所 小 b(s) 密切平面中的曲率圆可 n(s) 密切平面中的曲线 Figure2:三维 Euclid空间中曲线的 Frenet标架及其密切平面上的曲线示意 2应用事例 2.1曲线局部基下速度与加速度表达式 作为应用,以下推导三维空间中质点轨迹的速度及加速度表达形式.首先,推导速度表达式 Vf=x(8)(t)=v(t)3T(s)张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 以下研究密切平面中的曲线, 有 r(s0 + h) = r(s0) + hτ (s0) + κ(s0) 2 h 2n(s0) + o(h 2 ) ∈ span{τ (s0), n(s0)}. 引入局部坐标系 {O; x, y}, 有参数表示    x(h) = h, y(h) = κ(s0) 2 h 2 + o(h 2 ), 可有 Monge 型表示 y = f(x) = κ(s0) 2 x 2 + o(x 2 ), 考虑密切平面中的曲率圆 x 2 + ( y − 1 κ(s0) )2 = 1 κ 2(s0) , 有 y(x) = 1 κ(s0) − √ 1 κ 2(s0) − x 2 = 1 κ(s0) − 1 κ(s0) √ 1 − κ 2(s0)x 2 = 1 κ(s0) − 1 κ(s0) ( 1 − 1 2 κ 2 (s0)x 2 + o(x 2 ) ) = κ(s0) 2 x 2 + o(x 2 ). 现在密切平面中的曲率圆同密切平面中的曲线有二阶密切, 亦即精度至二阶无穷小量, 如图2所 示. x y z O 齒楫 τ (s) n(s) b(s) s O L s x y O 嫻最樅䶒шA齒楫 嫻最樅䶒шA齒ぬ箱 Figure 2: 三维 Euclid 空间中曲线的 Frenet 标架及其密切平面上的曲线示意 2 应用事例 2.1 曲线局部基下速度与加速度表达式 作为应用, 以下推导三维空间中质点轨迹的速度及加速度表达形式. 首先, 推导速度表达式 V , r˙ = dr ds (s) ds dt(t) = |V (t)|R3 τ (s), 7