曲线上标架 谢锡麟 1.切向量:T(t) 2.主法向量:m(t)= t)×((t)×(t) )lRs|r(t)×r(t)k 3.副法向量:b()=0)xF 其运动方程为 (+()n()bu)=(r(s)n(s)b6() -r(t)Irk(t) ((t)n(t)b(t)) lr(t)IRak(t) 0 r(tIRso(t) 式中曲率(=上,率o0=0xg 14曲线局部参数化 考虑以弧长为参数表示的曲线方程 0,D]3s+r(s)∈R 按单参数向量值映照的无限小增量公式有 P(s0)12,F(s0 r(0+b)=r(0)+r(o)h+212+393+o03)∈g3 r(0)+r(0(s0)10)+[-2)r()+6()n() +k(50)7(0b(0】23+o(h3) r(so)+h T(S0)+ k(so)o(soh b(so)+o(h) r(0)+h+0(2)r(0)+/(sy2 o(h2)n(so) (s0)a(s0) 6h3b(s0)+o(h”) 引入局部意义下的密切平面(由r同n(0)张成)中的曲线 F(s0+b)会r(0)+[h+o(h2]r(s0)+ (s0) h2)n(0 即有 r(+)=(0+b)+0c02m860)+08) 可见,原曲线r(s0+h)同密切平面中的曲线列(s0+h)具有二阶精度,亦即差别为o(h3)∈R3, K(80(02h3b(s0)+o(h3)代表了原曲线离开密切平面的程度,挠率o(s0)仅在此起作用张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 1. 切向量：τ (t) = r˙(t) |r˙(t)|R3 ; 2. 主法向量：n(t) = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 ; 3. 副法向量：b(t) = r˙(t) × r¨(t) |r˙(t)| 3 R3 . 其运动方程为 ( τ˙(t) n˙ (t) ˙b(t) ) = ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) ds dt (t) = ( τ (t) n(t) b(t) )   0 −|r˙(t)|R3 κ(t) 0 |r˙(t)|R3 κ(t) 0 −|r˙(t)|R3 σ(t) 0 |r˙(t)|R3 σ(t) 0   , 式中曲率 κ(t) = |r˙(t) × r¨(t)|R3 |r˙(t)| 3 R3 , 挠率 σ(t) = [r˙(t), r¨(t), ... r (t)] |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 . 1.4 曲线局部参数化 考虑以弧长为参数表示的曲线方程 [0, L] ∋ s 7→ r(s) ∈ R 3 , 按单参数向量值映照的无限小增量公式有 r(s0 + h) = r(s0) + r˙(s0)h + r¨(s0) 2! h 2 + ... r (s0) 3! h 3 + o(h 3 ) ∈ R 3 = r(s0) + hτ (s0) + κ(s0) 2 h 2n(s0) + 1 6 [ − κ 2 (s0)τ (s0) + ˙κ(s0)n(s0) + κ(s0)σ(s0)b(s0) ] h 3 + o(h 3 ) = r(s0) + [ h − κ 2 (s0) 6 ] τ (s0) + [ κ(s0) 2 h 2 + κ˙(s0) 6 h 3 ] n(s0) + κ(s0)σ(s0) 6 h 3 b(s0) + o(h 3 ) = r(s0) + [ h + o(h 2 ) ] τ (s0) + [ κ(s0) 2 h 2 + o(h 2 ) ] n(s0) + κ(s0)σ(s0) 6 h 3 b(s0) + o(h 3 ). 引入局部意义下的密切平面 (由 τ 同 n(s0) 张成) 中的曲线 r(s0 + h) , r(s0) + [ h + o(h 2 ) ] τ (s0) + [ κ(s0) 2 h 2 + o(h 2 ) ] n(s0), 即有 r(s0 + h) = r(s0 + h) + κ(s0)σ(s0) 6 h 3 b(s0) + o(h 3 ). 可见, 原曲线 r(s0 + h) 同密切平面中的曲线 r(s0 + h) 具有二阶精度, 亦即差别为 o(h 3 ) ∈ R 3 , κ(s0)σ(s0) 6 h 3 b(s0) + o(h 3 ) 代表了原曲线离开密切平面的程度, 挠率 σ(s0) 仅在此起作用. 6