A1b+A2b2+…+Anb A B A2b+A2b2+…+An2bn Ab1+A2b2+…+Abn Ab+A2b2+…+Abn就是把A的第i列换成B后的行列式,记 于是有: 定理若数域K上的n个未知量n个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式A≠0 则它有唯一的一组解X,=B=。这个定理称为 Cramer法则 332矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩 命题设A,B∈M,(K),则AB=|4|B 证明对A讨论满秩与不满秩的情况 定义设 a21 a A 取{2…}≤{2…m,{,2…}={2…n, 2 称为A的一个1阶子式,记为A 1l2 引理r(A)≥r◇存在非零的r阶子式 证明“→”若r(A)≥r,则由矩阵的秩的定义,A存在r个线性无关的行向量 设它们为l1,l2,…,行,取它们构成一个秩为r的r×n矩阵而 11 1 21 2 1 * 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n A b A b A b A b A b A b A B A b A b A b   + + +   + + +   =       + + + ， A b A b A b 1 1 2 2 i i ni n + + + 就是把 A 的第 i 列换成 B 后的行列式，记 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i n i n ni n ni nn a a b a a A a a b a a − + − +     =       ， 于是有： 定理 若数域 K 上的 n 个未知量 n 个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式 A  0 ， 则它有唯一的一组解 1 * i i A X A B A A = = 。这个定理称为 Cramer 法则。 3.3.2 矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩 命题 设 , ( ) A B M K  n ，则 AB A B = 。 证明 对 A 讨论满秩与不满秩的情况。 定义 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       ， 取 i i i m 1 2 , , , 1,2, , t  ， j j j n 1 2 , , , 1,2, , t   ， 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 t t t t t t i j i j i j i j i j i j i j i j i j a a a a a a a a a 称为 A 的一个 t 阶子式，记为 1 2 1 2 t t i i i A j j j       。 引理 r A r ( )   存在非零的 r 阶子式。 证明 “” 若 r A r ( )  ，则由矩阵的秩的定义， A 存在 r 个线性无关的行向量， 设它们为 1 2 , , , r i i i 行，取它们构成一个秩为 r 的 r n 矩阵