·1196· 工程科学学报，第41卷，第9期 输入；ω为传动力矩并且有如下形式： [u=(nJm+J)(-ksig[sig(-ya)▣+k2e]▣+ w=f(△)+cf(△) (2) nbm+b为) 式中，k为扭转系数：c为阻尼系数；4=0。-9f(·) 为齿隙引起的非线性，并且可以由死区非线性代表： 店=-4sig(传-a)d-e)方 4-8,4≥8 (9) f·)=0,I41<8 (3) 式中，k>0,2为电机驱动系统负载速度x2的估 4+8,4≤-8 计值. 式中，δ为齿隙宽度.为方便控制器设计，假设齿轮 2.2稳定性分析 箱两端力矩为线性关系[)，可得如下简化模型： 定理1在所设计滤波控制器(9)作用下，系统 (5)的跟踪误差能够在有限时间内收敛有界，收敛 (nJ +J)0+(nb+bL)0.=u (4) 时间上界如式(10)所示. 式中，n为传动比系数.选取系统状态变量x1=9。, 2(0) x2=0m,式(4)可写为 T.= (10) 1=x2 .1-1） C1 ,1[u-(nb。+bL)x] 式中，入m为正常数 2= (5) nJm+J 证明：选取李雅普诺夫函数V=e?.定义中间 (y=x 变量专=-k2sig(e,)立，则对V求导可得 本文将针对上述电机驱动系统，设计滤波器估 i.=2e,5+2e,(e,-)≤ 计不可测状态变量x2:同时设计有限时间跟踪控制 器，使得系统输出y能够跟踪期望信号y:考虑电 -2k2le,1向1+21e,11e,-1≤ 机驱动系统结构与控制之间的耦合问题，进行结构/ -2h1e,l☆+1+22-le,l川sig(e,)m-sig(5)1 控制一体化设计，取得电机驱动系统全局最优参数. (11) 2有限时间滤波控制器设计 由于22-1e,11sig(e,)▣-sig(专)▣1≤22-奇a1 (a,+1)11e,11*守+22-奇(a,+1)1 本节设计了电机驱动系统的有限时间跟踪控制 器.考虑电机驱动系统速度信息未知的情况，设计 1sig(e,)叫-sig(5)1+奇，式(11)可进一步写为 了滤波器估计系统状态信息，并分析了控制系统的 ≤-2k2le,1向*1+22-奇a1(a1+1)-11e,μ++ 稳定性.最后，对电机驱动系统进行结构/控制一体 22-(a1+1)-11sig(e,)▣-sig()11+向(12) 化设计. 定义滤波器估计误差e1=sig(x2)-sig(名2)"， 2.1控制器设计 选取李雅普诺夫函数V。=e斤.对V2求导得 引理1[]对于系统(5)，如果存在连续正定函 V。=2ee1=2e1|x2I-1x2-2ekg(x2-元2)= 数V(x)满足 V(x)≤-aV(x) (6) 2ea1lx21-1,1 'nd.+[u-(b。+b.)]- 式中，a和0<b<1为正常数，则系统(5)为有限时 2eg(x2-2) (13) 间稳定，且收敛时间可通过式(7)计算 根据式(9)所提出的滤波器有： t≤aor6)t (7) Ve=2ex xa"n+.u-(nb+h)] 针对电机驱动系统模型，设计有限时间控制器： 2eg{x2-sig[sig(x2)▣-e1]}≤ u =(nJ+J)(-kisig [sig (e,)+ke ]2+ nbnx2+bx2） (8) 20,le le nJm+JL nJm +J 式中，e,=y-ya为系统跟踪误差；1<1<2,0< 2ek号{x2-sig[sig(x2)-e]可}(14) a2<2a1'-1,k1,k2>0. 由于 考虑电机驱动系统速度状态x,不可测，设计如 2a;le l lz 1-1lul = 下基于滤波器的控制器： nJ+工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 输入;棕 为传动力矩并且有如下形式: 棕 = kf(驻) + cf(驻 · ) (2) 式中,k 为扭转系数;c 为阻尼系数;驻 = 兹m - 兹L ;f(·) 为齿隙引起的非线性,并且可以由死区非线性代表: f(·) = 驻 - 啄, 驻逸啄 0, | 驻 | < 啄 驻 + 啄, 驻臆 - ì î í ïï ïï 啄 (3) 式中,啄 为齿隙宽度. 为方便控制器设计,假设齿轮 箱两端力矩为线性关系[18] ,可得如下简化模型: (nJm + JL ) 兹 ·· L + (nbm + bL ) 兹 · L = u (4) 式中,n 为传动比系数. 选取系统状态变量 x1 = 兹m , x2 = 兹 · m ,式(4)可写为 x · 1 = x2 x · 2 = 1 nJm + JL [u - (nbm + bL )x2 ] y = x ì î í ï ï ï ï 1 (5) 本文将针对上述电机驱动系统,设计滤波器估 计不可测状态变量 x2 ;同时设计有限时间跟踪控制 器,使得系统输出 y 能够跟踪期望信号 yd . 考虑电 机驱动系统结构与控制之间的耦合问题,进行结构/ 控制一体化设计,取得电机驱动系统全局最优参数. 2 有限时间滤波控制器设计 本节设计了电机驱动系统的有限时间跟踪控制 器. 考虑电机驱动系统速度信息未知的情况,设计 了滤波器估计系统状态信息,并分析了控制系统的 稳定性. 最后,对电机驱动系统进行结构/ 控制一体 化设计. 2郾 1 控制器设计 引理 1 [19]对于系统(5),如果存在连续正定函 数 V(x)满足 V · (x)臆 - aV (x) b (6) 式中,a 和 0 < b < 1 为正常数,则系统(5)为有限时 间稳定,且收敛时间可通过式(7)计算. Tc臆 1 a(1 - b) V (x0 ) 1 - b (7) 针对电机驱动系统模型,设计有限时间控制器: u = (nJm + JL )( - k1 sig [sig ( e · t) 琢1 + k2 et] 琢2 + nbm x2 + bL x2 ) (8) 式中,et = y - yd 为系统跟踪误差;1 < 琢1 < 2,0 < 琢2 < 2琢 - 1 1 - 1,k1 ,k2 > 0. 考虑电机驱动系统速度状态 x2 不可测,设计如 下基于滤波器的控制器: u = (nJm + JL)( - k1 sig [sig (x^ 2 - y · d) 琢1 + k2 et] 琢2 + nbm x^ 2 + bL x^ 2) x^ 2 = y · d - k3 sig (乙(x^ 2 - y · d)dt - et ) 1 琢 ì î í ï ï ï ï 1 (9) 式中,k3 > 0,x^ 2 为电机驱动系统负载速度 x2 的估 计值. 2郾 2 稳定性分析 定理 1 在所设计滤波控制器(9)作用下,系统 (5)的跟踪误差能够在有限时间内收敛有界,收敛 时间上界如式(10)所示. Tc = 2Vt(0) 1 - 1 / 琢1 2 姿m (1 - 1 琢 ) 1 (10) 式中,姿m 为正常数. 证明:选取李雅普诺夫函数 Vt1 = e 2 t . 定义中间 变量 孜 = - k2 sig(et) 1 琢1 ,则对 Vt1求导可得 V · t1 = 2et 孜 + 2et( e · t - 孜)臆 - 2k2 |et | 1 琢1 + 1 + 2 |et | | e · t - 孜 |臆 - 2k2 |et | 1 琢1 + 1 + 2 2 - 1 琢1 |et | |sig( e · t) 琢1 - sig(孜) 琢1 | (11) 由于 2 2 - 1 琢1 |et | | sig( e · t ) 琢1 - sig( 孜) 琢1 | 臆2 2 - 1 琢1 琢1 (琢1 + 1) - 1 |et | 1 + 1 琢1 + 2 2 - 1 琢1 (琢1 + 1) - 1 |sig( e · t) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 ,式(11)可进一步写为 V · t1臆 - 2k2 |et | 1 琢1 + 1 + 2 2 - 1 琢1琢1 (琢1 + 1) - 1 |et | 1 + 1 琢1 + 2 2 - 1 琢1 (琢1 + 1) - 1 |sig( e · t) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 (12) 定义滤波器估计误差 el = sig(x2 ) 琢1 - sig(x^ 2 ) 琢1 , 选取李雅普诺夫函数 Vt2 = e 2 l . 对 Vt2求导得 V · t2 = 2el e · l = 2el琢1 | x2 | 琢1 - 1 x · 2 - 2el k 琢1 3 (x2 - x^ 2 ) = 2el琢1 | x2 | 琢1 - 1 1 nJm + JL [u - (nbm + bL )x2 ] - 2el k 琢1 3 (x2 - x^ 2 ) (13) 根据式(9)所提出的滤波器有: V · t2 = 2el琢1 | x2 | 琢1 - 1 1 nJm + JL [u - (nbm + bL )x2 ] - 2el k 琢1 3 {x2 - sig [sig (x2 ) 琢1 - el] 1 琢1 }臆 2琢1 |el | |x2 | 琢1 -1 nbm + bL nJm + JL x2 +2琢1 |el | |x2 | 琢1 -1 |u| nJm + JL - 2el k 琢1 3 {x2 - sig [sig (x2 ) 琢1 - el] 1 琢1 } (14) 由于 2琢1 |el | | x2 | 琢1 - 1 | u | nJm + JL = ·1196·