你可以核实一下，这些是所有的各种可能结合。 在这些项中，你会发现第二和第四项实际上总是等于零的： [V×()]=E0,(O)=￡0,09 =x0,0.+50,p) 2x(6,0:0-00,p)=0 (15) 7.(×A)=a,(7×A,=0,(e0,4)=e0,0,4 =26x(a0,4-a,0,4)=0 第一个式子说明任一标量场的梯度是无旋场，而第二个则是说任一矢量场的旋度 是无散场（或无源场）。 现在我将不加证明地陈述两个物理学中非常有用的数学定理。在一个物理问 题中，我们经常会发现某一个矢量场的旋度为零，而我们注意到，一个梯度的旋 度为零，于是，肯定有可能本来就是某一个标量的梯度，这样它的旋度才必然等 于零。第一个定理是讲： 如果 V×A=0 就有一个 Ψ (16) 使得 A=Vu 当散度为零时，还有一个类似定理： 如果 7.B=0 就有一个 A (17) 使得 B=V×A 在检查由两个算符的可能结合中，我们已经找出了其中有两种结合总是等于 零的。现在看看那些不等于零的。考虑(14)所列的第一结合， 7.(7)=0,(0,)=0,0,= ap,a2p,a中 (18) Ox2Ox22x2 因此在这个式子中我们没必要保留那个括号，所以，在不引起混乱的情况下写成 7.(7)=7.Vφ=(7.7)中=7p (19) 第4页，共7页你可以核实一下，这些是所有的各种可能结合。 在这些项中，你会发现第二和第四项实际上总是等于零的： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 2 1 0 2 ijk j k ijk j k i ijk j k ikj k j ijk j k k j i i ijk j k ijk i j k i ijk i j k i j k A A A A A φ ε φε φ ε φε φ ε φφ ε ε ε ⎡ ⎤ ∇× ∇ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎣ ⎦ = ∂∂ + ∂∂ = ∂ ∂ −∂ ∂ ≡ ∇⋅ ∇× =∂ ∇× =∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂∂ −∂∂ ≡ K K A (15) 第一个式子说明任一标量场的梯度是无旋场，而第二个则是说任一矢量场的旋度 是无散场（或无源场）。 现在我将不加证明地陈述两个物理学中非常有用的数学定理。在一个物理问 题中，我们经常会发现某一个矢量场的旋度为零，而我们注意到，一个梯度的旋 度为零，于是，肯定有可能本来就是某一个标量的梯度，这样它的旋度才必然等 于零。第一个定理是讲： 0 A A ψ ψ ∇× = = ∇ K K 如果 就有一个 使得 (16) 当散度为零时，还有一个类似定理： 0 B A B A ∇ ⋅ = = ∇ × K K K K 如果 就有一个 使得 (17) 在检查由两个算符的可能结合中，我们已经找出了其中有两种结合总是等于 零的。现在看看那些不等于零的。考虑(14)所列的第一结合， () () 2 2 2 2 1 2 i i ii 2 2 3 x x x φ φ φ φ φφ ∂ ∂ ∂ ∇⋅ ∇ =∂ ∂ =∂∂ = + + ∂ ∂ ∂ (18) 因此在这个式子中我们没必要保留那个括号，所以，在不引起混乱的情况下写成 ( ) ( ) 2 ∇⋅ ∇ =∇⋅∇ = ∇⋅∇ =∇ φ φ φ φ (19) 第 4 页，共 7 页